Связь теории функции комплексного переменного с плоской задачей теории фильтрации. Функция тока. Комплексный потенциал

Для плоского движения несжимаемой жидкости потенциал является функцией двух координат, т. е. Ф = Ф (х, у).

Уравнения движения записываются в виде:

(3.1)

Уравнение неразрывности есть

(3.2)

Уравнение Лапласа

(3.3)

Найдем уравнение линий тока. Линией тока называется такая линия, касательная к которой в любой точке совпадает с вектором скорости. Отсюда следует выражение для направляющих косинусов (рис. 3.1):

или

откуда следует уравнение линий тока

(3.4)

Здесь

ds – элемент линии тока с проекциями dх и dу,

– модуль вектора скорости с проекциями u и ;

α; и β; – углы между осями координат и вектором скорости .

Решение уравнения (3.4) будем искать в виде неявной зависимости

(3.5)

Уравнение (3.5) называется функцией тока. Основное свойство функции тока — это ее постоянство вдоль линии тока. Но с переходом от одной линии тока к другой значение функции тока y (х, у) меняется (рис. 3.2).

 

 

Рис. 3.1. Схема к определению напраляющих косинусов вектора скорости

Рис. 3.2 Интерпретация функции комплексного переменного на плоскости [ Ф (х, у)= const – семейство эквтенциалей; y (х, у)= const – семейство линий тока]

 

Установим связь функции тока с потенциалом скорости фильтрации Ф (х, у)= С. Поскольку y (х, у)= const вдоль линии тока. то полный дифференциал ее равен нулю, т. е.

(3.6)

Это то же уравнение линий тока, что и (3.23), но только в неявной форме. Сравнивая (3.6) и (3.3), получаем:

(3.7)

Сравнивая (3.1) и (3.7), находим:

или

(3.8)

Получили уравнения Коши-Римана, удовлетворяющие уравнению Лапласа.