Плоскорадиальное движение. Приток к совершенной скважине, расположенной в центре кругового пласта

Примем следующие обозначения (рис.2.2):

Если фильтрация происходит через всю цилиндрическую поверхность f =2 pr _c h, то скважина называется гидродинамически совершенной по вскрытию. Наша задача определить расход жидкости, закон распределения давления, форму депрессионной поверхности, время движения частицы и форму индикаторной кривой.

Вырежем мысленно элементарную радиальную струйку (см. рис. 2.2). Замечаем, что s = R _к- r, a ds =- dr. С учетом этого закона Дарси в дифференциальной форме запишется как:

(2.5)

Но так как Q = fu =2 prhu, то

(2.6)

 

Рис.2.2. Схема плоскорадиального притока жидкости в пласте

(приток к совершенной скважине)

Н _к — постоянный напор на круговом контуре питания; Н _с — напор на забое скважины; Н — напор в любой точке пласта на расстоянии r от скважины; Р _к, Р _с, Р — приведенные давления на контуре питания, на забое и на расстоянии r соответственно.

 

Разделяя переменные и интегрируя в соответствующих пределах, получаем

(2.7)

откуда имеем:

(2.8)

Получили уравнения логарифмических кривых. Таким образом, пьезометрическая поверхность АВСД представляет собой поверхность вращения логарифмической кривой относительно оси скважины (см. рис. 2.2).

Интегрируя уравнение (2.7) в пределах от Н _с до Н и от r _с до r, получим другое выражение для распределения давления (напора):

(2.9)

При r = r _c имеем Н = Н _с и Р = Р _с. Тогда из (2.8) следует

. (2.10)

Получили формулы Дюпюи для расхода. Подставляя (2.10) в (2.8), находим:

(2.11)

Таким образом, пьезометрическая поверхность или «воронка депрессии» (см. рис. 2.2) может быть построена по формулам (2.8), (2.9) и (2.11). Заметим, если пьезометрическая поверхность жидкости в пласте выше, чем поверхность земли, то скважина будет фонтанировать. При отсутствии отбора пьезометрическая поверхность занимает положение АД (см. рис. 2.2) и во всех точках пласта давление при этом одинаково. В случае отбора статический уровень в скважине понижается на величину а (см. рис. 2.2) и устанавливается так называемый динамический уровень.

Формулу (2.10) можно записать в виде

Q = КDР = К (Р _к– Р _c), (2.10')

где

(2.12)

Здесь К принято называть коэффициентом продуктивности скважины. Размерность: При D Р =1 Па имеем К=Q, т. е. коэффициент продуктивности выражает дебит на 1 Па перепада давления.

Согласно (2.10') зависимость между Q и D Р является линейной и графически выражается прямой (рис. 2.3). В практике эта зависимость называется индикаторной диаграммой и снимается она при исследовании скважин методом пробных откачек, т. е. при установившихся отборах. Индикаторная диаграмма характеризует продуктивность скважины, режим фильтрации и помогает устанавливать режим работы скважины.

 

 

Рис.2.3. Индикаторная диаграмма "дебит-депрессия" при фильтрации несжимаемой жидкости по линейному закону Дарси

 

2.3. Время движения частицы жидкости, движущейся по радиусу от контура питания к скважине

Истинная скорость движения в точке N (см. рис. 2.2) будет равна

(2.13)

Здесь принят знак (‑;), т. к. функция dr убывающая. Разделив переменные и проинтегрировав (2.13), получаем

(2.14)

При t =0 имеем r = R _к, т. е.

(2.15)

Тогда

(2.16)

Получили формулу закона движения частицы. При r = r _c получим время прохождения частицы от точки N до забоя скважины.