Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Дифференциальные уравнения теории установившейся фильтрации однородно жидкости





Для характеристки неустановившегося движения (т. е. когда скорости фильтрации, дебиты меняются со временем) оказывается необходимым использовать методы математической физики, основанные на составлении и интегрировании дифференциальных уравнений. При фильтрации однородной жидкости неизвестными функциями являются:

1) давление Р в любой точке пористой среды;

2) плотность r жидкости;

3) вектор скорости фильтрации , представленный 3-мя компонентами по координатным осям;

4) т – пористость;

5) температура среды Т ср;

6) температура жидкости Т ж.

Таким образом, имеем 8 неизвестных функций. Но ввиду малых скоростей фильтрации в пласте движение остается практически изотермическим, поэтому число неизвестных сокращается до шести.

Итак, мы установили шесть неизвестных функций. Перейдем к их выводу. Введем уравнение фильтрации как обобщение закона Дарси, который в векторной форме, как это было показано раньше, имеет вид [5-8]:

(1.39)

При такой записи массовыми силами для сжимаемой жидкости пренебрегаем. Уравнение неразрывности (сплошности) фильтрации жидкости в пористой среде записывается в виде:

(1.40)

Для сплошного потока жидкости, например в трубе, т = 0, имеем:

(1.41)

Здесь – вектор массовой скорости фильтрации. Если спроектировать вектор скорости фильтрации на координатные оси, то модули составляющих векторов запишутся в виде:

(1.42)

Выражение (1.42) представляет собой уравнения движения жидкости в пористой среде. Чтобы система уравнений была замкнутой, необходимо добавить уравнение состояния.

. (1.43)

При изотермическом процессе (Т=const) имеем:

для несжимаемой жидкости

(1.44)

для упругой жидкости

; (1.45)

для реальных газов

(1.46)

где

Z – коэффициент сжимаемости (для идеальных газов Z =1);

R – газовая постоянная;

T – температура пласта;

ρ,ρ;0 – плотности, соответствующие значениям давлений Р и Р 0;

К 0 – модуль упругости жидкости.

Проницаемость является функцией давления.

т = т (P). (1.47)

Считают, что для реальных пластов изменение пористости подчиня-

ется закону Гука

, (1.48)

 

где К с – модуль упругости пористой среды.

Заметим, что запись потенциала Ф в уравнениях (1.39) и (1.42) справедлива, если Кconst и m=const. В этом случае для несжимаемой жидкости (r=const) в неизменяемой пористой среде (т=const) уравнение неразрывности будет иметь вид

(1.49)

Тогда, подставляя (1.42) в (1.49), получаем:

(1.50)

Получили одно из важнейших уравнений математической физики – уравнение Лапласа. Стационарное распределение температуры, стационарное движение электричества удовлетворяют уравнению Лапласа. Электромоделирование основано на использовании этого уравнения. При этом аналогом давления является электрический потенциал.

Оказывается, если заданы одинаковые граничные условия и дифференциальные уравнения имеют одинаковый вид, то, изучая процесс на какой-либо другой модели, можно получить решение, справедливое для процессов из другой области. Потенциал скорости фильтрации, очевидно, удовлетворяет уравнению Лапласа

. (1.51)

Уравнение Лапласа является линейным, а для последних справедлив принцип суперпозиции, т. е. сумма частных решений линейных уравнений, умноженных на произвольные постоянные, также является решением этого линейного дифференциального уравнения. Математически это выглядит так. Если имеется несколько фильтрационных потоков Ф 1, Ф 2, Ф 3,..., Фп,которые удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е,

(1.52)

то суммарный потенциал Ф = также удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е

(1.53)

Итак, потенциалы отдельных фильтрационных потоков несжимаемой жидкости складываются алгебраически, а векторы скорости фильтрации – геометрически.








Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 861. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...


Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Что такое пропорции? Это соотношение частей целого между собой. Что может являться частями в образе или в луке...

Растягивание костей и хрящей. Данные способы применимы в случае закрытых зон роста. Врачи-хирурги выяснили...

ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ИЗНОС ДЕТАЛЕЙ, И МЕТОДЫ СНИЖЕНИИ СКОРОСТИ ИЗНАШИВАНИЯ Кроме названных причин разрушений и износов, знание которых можно использовать в системе технического обслуживания и ремонта машин для повышения их долговечности, немаловажное значение имеют знания о причинах разрушения деталей в результате старения...

Предпосылки, условия и движущие силы психического развития Предпосылки –это факторы. Факторы психического развития –это ведущие детерминанты развития чел. К ним относят: среду...

Анализ микросреды предприятия Анализ микросреды направлен на анализ состояния тех со­ставляющих внешней среды, с которыми предприятие нахо­дится в непосредственном взаимодействии...

Типы конфликтных личностей (Дж. Скотт) Дж. Г. Скотт опирается на типологию Р. М. Брансом, но дополняет её. Они убеждены в своей абсолютной правоте и хотят, чтобы...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия