Закон распределения случайных величин. Нормальное распределение. Показательное распределение. Равномерное распределение. Некоторые другие виды распределения.

Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

(6.1)

Замечание. Таким образом, нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и σ;.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Выясним, какой вид имеет эта кривая, для чего исследуем функцию (6.1).

1)Область определения этой функции: (-∞, +∞).

2)f (x) > 0 при любом х (следовательно, весь график расположен выше оси О х).

3) то есть ось О х служит горизонтальной асимптотой графика при

4) при х = а; при x > a, при x < a. Следовательно, - точка максимума.

5)F (x – a) = f (a – x), то есть график симметричен относительно прямой х = а.

6) при , то есть точки являются точками перегиба.

Примерный вид кривой Гаусса изображен на рис.1.

х

Рис.1.

Найдем вид функции распределения для нормального закона:

(6.2)

Перед нами так называемый «неберущийся» интеграл, который невозможно выразить через элементарные функции. Поэтому для вычисления значений F (x) приходится пользоваться таблицами. Они составлены для случая, когда а = 0, а σ = 1.

Нормальное распределение с параметрами а = 0, σ = 1 называется нормированным, а его функция распределения.