Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теорема Бернулли.





теорема Бернулл. Если в каждом из п независимых опытов вероятность р появления события А постоянна, то при достаточно большом числе испытаний вероят-ность того, что модуль отклонения относительной частоты появлений А в п опытах от р будет сколь угодно малым, как угодно близка к

1:

Доказательство. Введем случайные величины Х 1, Х 2, …, Хп, где Xi число появлений А в i -м опыте. При этом Xi могут принимать только два значения: 1(с вероятностью р) и 0 (с вероятностью q = 1 – p). Кроме того, рассматриваемые случайные величины попарно независимы и их дисперсии равномерно ограничены (так как D (Xi) = pq, p + q = 1, откуда pq ≤ ¼). Следовательно, к ним можно применить теорему Чебышева при Mi = p:

.

Но , так как Xi принимает значение, равное 1, при появлении А в данном опыте, и значение, равное 0, если А не произошло. Таким образом,

что и требовалось доказать.

Замечание. Из теоремы Бернулли не следует, что Речь идет лишь о вероятно-сти того, что разность относительной частоты и вероятности по модулю может стать сколь угодно малой. Разница заключается в следующем: при обычной сходимости, рассматриваемой в математическом анализе, для всех п, начиная с некоторого значения, неравенство выполняется всегда; в нашем случае могут найтись такие значения п, при которых это неравенство неверно. Этот вид сходимости называют сходимостью по вероятности.

Системы случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины. Функции распределения двумерной случайной величины и ее свойства. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (Х, Y)имеет вид таблицы с двойным входом, задающей перечень возможных значений каждой компоненты и вероятности p (xi, yj), с которыми величина принимает значение (xi, yj):

Y Х
x 1 x 2 xi xn
y 1 p (x 1, y 1) p (x 2, y 1) p (xi, y 1) p (xn, y 1)
yj p (x 1, yj) p (x 2, yj) p (xi, yj) p (xn, yj)
ym p (x 1, ym) p (x 2, ym) p (xi, ym) p (xn, ym)

 

При этом сумма вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1.

Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распреде-ления ее составляющих. Действительно, событие Х = х 1 представляется собой сумму несовместных событий (X = x 1, Y = y 1), (X = x 1, Y = y 2),…, (X = x 1, Y = ym), поэтому

р (Х = х 1) = p (x 1, y 1) + p (x 1, y 2) +…+ p (x 1, ym) (в правой части находится сумма вероятностей, стоящих в столбце, соответствующем Х = х 1). Так же можно найти вероятности остальных возможных значений Х. Для определения вероятностей возможных значений Y нужно сложить вероятности, стоящие в строке таблицы, соответствующей Y = yj.

Функцией распределения F (x, y) двумерной случайной величины (X, Y) называется вероятность того, что X < x, a Y < y: F (х, у) = p (X < x, Y < y). (8.1)

Рис.1. Это означает, что точка (X, Y) попадет в область, заштрихованную на рис. 1, если вершина прямого угла располагается в точке (х, у). Замечание. Определение функции распределения справедливо как для непрерывной, так и для дискретной двумерной случайной величины. Свойства функции распределения. 1)0 ≤ F (x, y) ≤ 1 (так как F (x, y) является вероятностью). 2)F (x, y) есть неубывающая функция по каждому аргументу: F (x 2, y) ≥ F (x 1, y), если x 2 > x F (x, y 2) ≥ F (x, y 1), если y 2 > y 1. Доказательство. F (x 2, y) = p (X < x 2, Y < y) = p (X < x 1, Y < y) + p (x 1X < x 2, Y < y) ≥ p (X < x 1, Y < y) = F (x 1, y). Аналогично доказывается и второе утверждение. 3)Имеют место предельные соотношения: а) F (-∞, y) = 0; b) F (x, - ∞) = 0; c) F (- ∞, -∞) = 0; d) F (∞, ∞) = 1. Доказательство. События а), b) и с) невозможны (так как невозможно событие Х<- ∞ или Y <- ∞), а событие d) достоверно, откуда следует справедливость приведенных равенств. 4)При у = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей Х: F (x, ∞) = F 1(x). При х = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей Y: F (∞, y) = F 2(y). Доказательство. Так как событие Y < ∞ достоверно, то F (x, ∞) = р (Х < x) = F 1(x). Аналогично доказывается второе утверждение. Плотностью совместного распределения вероятностей (двумер-ной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называ-ется смешанная частная производная 2-го порядка от функции распределения . (8.2) Замечание. Двумерная плотность вероятности представляет собой предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Δ х и Δ у к площади этого прямоугольника при Свойства двумерной плотности вероятности.

1)f (x, y) ≥ 0 (см. предыдущее замечание: вероятность попадания точки в прямоуголь-ник неотрицательна, площадь этого прямоугольника положительна, следовательно, предел их отношения неотрицателен). 2) (cледует из определения двумерной плотности вероятно-сти). 3) (поскольку это вероятность того, что точка попадет на плос-кость О ху, то есть достоверного события).







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 428. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Методы прогнозирования национальной экономики, их особенности, классификация В настоящее время по оценке специалистов насчитывается свыше 150 различных методов прогнозирования, но на практике, в качестве основных используется около 20 методов...

Методы анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия   Содержанием анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия является глубокое и всестороннее изучение экономической информации о функционировании анализируемого субъекта хозяйствования с целью принятия оптимальных управленческих...

Образование соседних чисел Фрагмент: Программная задача: показать образование числа 4 и числа 3 друг из друга...

Кран машиниста усл. № 394 – назначение и устройство Кран машиниста условный номер 394 предназначен для управления тормозами поезда...

Приложение Г: Особенности заполнение справки формы ву-45   После выполнения полного опробования тормозов, а так же после сокращенного, если предварительно на станции было произведено полное опробование тормозов состава от стационарной установки с автоматической регистрацией параметров или без...

Измерение следующих дефектов: ползун, выщербина, неравномерный прокат, равномерный прокат, кольцевая выработка, откол обода колеса, тонкий гребень, протёртость средней части оси Величину проката определяют с помощью вертикального движка 2 сухаря 3 шаблона 1 по кругу катания...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия