Решение. Событие А - «студент ответил на 3 вопроса»;

Событие А - «студент ответил на 3 вопроса»;

событие В₁ - «отвечал отличник»;

событие В₂ - «отвечал хорошист»;

событие В₃ - «отвечал слабо подготовленный студент».

событие В₄ - «отвечал неподготовленный студент»;

Из условия задачи имеем:

P(B₁)=0.3; P(B₂)=0.4; P(B₃)=0.2; P(B₄)=0.1.

Кроме этого:

; ; ; .

è по формуле Бейеса получаем

.

Как видно, искомая вероятность сравнительно невелика. Поэтому преподавателю придется предложить студенту еще несколько дополнительных вопросов.

Замечание. Формулы Бейеса находят широкое применение в математической статистике.

Рассмотрим на примере графическую схему, которая помогает вычислять вероятности интересующих событий. Основой такой схемы является дерево вероятностей.

Пример. В урне 10 шаров, 3 из которых черные, а остальные белые. Из урны последовательно наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что это будут шары белого цвета?

Решение. На рисунке 2.1 построено дерево вероятностей, на ребрах которого указаны вероятности появления шара того или иного цвета, как при первом, так и при втором извлечениях.

 

 

Рис. 2.1. Дерево вероятностей

Отсюда легко получается ответ на поставленный вопрос - соответствующая вероятность равна

3/10∙2/9=2/30=1/15.

Одновременно можно ответить на другие вопросы. Например, вероятность того, что шары будут разных цветов, равна

3/10∙7/9+7/10∙3/9=42/90=7/15.

Рассмотрим случай многократного повторения одного и того же испытания. Примерами этому может служить: извлечение наудачу из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шара, одного белого шара (с возвращением), проверка на стандартность детали произведенной в некоторых постоянных технологических условиях, проверка того, что при опускании монеты кофейный автомат сработает правильно и многое другое. Эти события, можно описать одной схемой, которая называется схемой Бернулли.

Пусть производится n последовательных независимых испытаний. Результат каждого испытания (события А) будем считать не зависящим от того, какой результат наступил в предыдущих испытаниях. Пусть вероятность P (A) появления события А постоянна и равна p. Вероятность P () события обозначим через q: P () = 1- p=q. В этом случае вероятность того, что в n последовательных «испытаниях Бернулли» событие произойдет ровно k раз, равна

, где .

Пример. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, наудачу выбирается с возвращением 5 раз подряд один шар. Подсчитать вероятность того, что 4 раза появится белый шар.

Решение. В приведенных выше обозначениях n =8; p =1/4; q =3/4; k =5. Искомую вероятность вычисляем по формуле Бернулли:

.

При больших n использование формулы Бернулли затруднительно, в этих случаях для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют:

либо формулу Лапласа (локальная теорема Лапласа) , где и (функция - четная (), ее значения табулированы, таблица, позволяющая вычислять значения функции , имеется во всех учебниках по теории вероятностей),

либо формулу Пуассона , где λ;= np =const – среднее число появлений события в n испытаниях называется параметром распределения Пуассона, а сама формула является математической моделью «редких, но массовых явлений».

При небольших значениях вероятностей p (меньших 0.1) и больших n более точный результат дает формула Пуассона.

Пример. Найти вероятность выпадения ровно 50 «орлов» при 100 бросаниях монеты.

Решение. Для вычисления воспользуемся формулой Лапласа. Имеем: n=100, k=50, p=0.5, q=0.5.

è = 0, .

è .

Пример. Найти вероятность выпадения от 47 до 57 «орлов» при 100 бросках монеты.

Решение. Для решения подобных задач применяют интегральную теорему Лапласа: вероятность появления события при n испытаниях в интервале от k₁ раз до k₂ раз вычисляется по следующей формуле

,

где функция вычисляется с помощью таблиц.

Функция - нечетная: .

При x≥5 считают = 0.5.

Имеем: n=100, k₁=47, k₂=57 p=0.5, q=0.5.

è .

Пример. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. Имеем: n=1000 (очень велико), p =0.002 (очень мало), λ;= np =2, k =3.

Применяем формулу Пуассона, тогда искомая вероятность равна:

.

Пример. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0.003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

Решение. Имеем: λ;= np =1000·0.003=3. По формуле Пуассона имеем:

.

 

§ 3. Случайные величины и их характеристики

Число отличных оценок, которые студенты одной учебной группы получат в ближайшую сессию, может быть различным. Оно может быть равным 0 (нет ни одной отличной оценки), 1, 2 и т.д. до некоторого конечного числа n. К величинам такого же типа относятся, например: вес корнеплода свеклы на участке, дальность полета артиллерийского снаряда, количество бракованных деталей в партии и т.д. Общим для них является то, что каждая величина может принимать некоторые значения, но нельзя достоверно предсказать какое именно значение она примет в рассматриваемом опыте, явлении, наблюдении. Эти величины характеризуют все возможные результаты испытания с количественной стороны.

Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное.

Случайная величина называется дискретной (прерывной), если все ее возможные значения можно перенумеровать, т.е. Х – это случайная величина, принимающая значения из конечного или счётного множества.

Случайная величина называется непрерывной, если все ее возможные значения заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал.

Пример. Число студентов на лекции – дискретная случайная величина, продолжительность лекции – непрерывная.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z, а их возможные значения - соответствующими прописными буквами, то есть x₁, x₂,..., x_n и т.д.

Законом распределения случайной величины называется соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения может быть задан

§ аналитически,

§ таблично,

§ графически.

Закон распределения дискретной случайной величины задаётся чаще всего рядом распределения, т.е. таблицей

X	x1	x2,	…	xn
P	P1	p2	…	pn

в которой x₁, x₂,..., x_n – расположенные по возрастанию значения дискретной случайной величины , а p₁, p₂, …, p_n – соответствующие этим значениям вероятности. Число столбцов в этой таблице может быть конечным (если соответствующая случайная величина принимает конечное число значений) или бесконечным. То, что случайная величина Х принимает одно из значений х ₁, х ₂, …, х_n, является достоверным событием и поэтому выполняется равенство (в случае бесконечной последовательности значений ).

Пример. Отмечено, что в некоторой местности в течение ряда лет в июне 30% дождливых дней. Составить закон распределения случайной величины X – числа дождливых дней в течение одной недели июня месяца. События, состоящие в том, что в 1-й день недели идет дождь, во 2-й - дождь и т.д. считать независимыми.

Решение. Случайная величина X принимает следующие значения:

x₁=0, x₂=1, x₃=2, x₄=3, x₅=4, x₆=5, x₇=6, x₈=7.

Вероятности этих значений вычислим по формуле Бернулли:

, ,

, ,

, ,

, .

Закон распределения представим в виде таблицы

X
P	0.0824	0.2472	0.3128	0.2263	0.0973	0.0250	0.0036	0.0002

Наибольшую вероятность имеет событие, состоящее в том, что на неделе будет два дождливых дня.

Однако не все случайные величины могут быть описаны так просто как дискретные случайные величины. Например, время горения электрической лампочки может принимать любое значение от нуля до бесконечности. И если предполагается, что лампочка была в начале исправной, то вероятность того, что время ее службы это есть некоторое точное значение, будет равна нулю. Ненулевыми будут вероятности только сложных событий, например, продолжительность службы лампочки от одного до двух месяцев. В этом случае табличный способ задания случайных величин неприменим, и распределение случайной величины полностью определяется ее функцией распределения.

Функция распределения в точке x – это вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее заданного числа x:

.

Из определения следуют следующие свойства:

1. Как любая вероятность .

2. F (x) – неубывающая функция, т.е. если х ₁< х ₂, то F (x ₁)≤ F (x ₂).

3. - вероятность попадания в интервал.

4. Если все возможные значения случайной величины Х находятся на интервале (а, b), то F (x)=0 при х ≤ а и F (x)=1 при .

5. , .

Исходя из определения функции распределения можно дать другое определение непрерывной случайной величины: случайная величина, принимающая вещественные значения, называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна.

В этом случае вероятности событий связанных с данной случайной величиной, можно выразить через функцию плотности вероятности, которая является производной от функции распределения: . Часто по условию задачи задают плотность распределения (дифференциальная функция), зная которую можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница и функцию распределения (интегральную):

.

Согласно пятому свойству для F(x) имеем

.

Последнее равенство называется условием нормировки функции плотности f(x).

Пример. Плотность распределения случайной величины X равна

.

Найти A, F(x) и вероятность P(0.5£X£1.5).

Решение. Для нахождения А запишем условие нормировки

Если x<0, то .

Если , то

Если x>2, то .

Итак, .

Наконец, P(0.5£X£1.5)=P(X<1.5)+P(X=1.5)-P(X<0.5)=F(1.5)+0-F(0.5)=

Составить полное представление о случайной величине только по закону распределения часто бывает трудно. Поэтому возникает необходимость характеризовать случайную величину с помощью некоторых постоянных величин. Они выводятся на основе ее закона распределения. Прежде всего к ним относится математическое ожидание - важнейшая «характеристика положения» случайной величины.

Математическое ожидание - это число, которое выражает среднее значение случайной величины с учетом распределения.

Для дискретных величин она вычисляется по формуле

,

где x₁, x₂,...,x_n,... – возможные значения случайной величины,

p₁, p₂,,...,p_n,... – их вероятности.

Для непрерывных случайных величин математическое ожидание определяется формулой

.

Свойства математического ожидания:

§ M(C)=C (С=const);

§ M(CX)=CM(X) (С=const);

§ M(X+Y)=M(X)+M(Y);

§ M(XY)=M(X)M(Y) ( для независимых случайных величин ).

Пример. Пусть в некотором магазине, торгующем электробытовой техникой, получены статистические данные о количестве проданных холодильников в каждый день месяца (условно считаем, что месяц состоит из 30 рабочих дней). Эти данные представлены в таблице

Количество проданных холодильников
Число дней, за которые было продано данное число холодильников

По этой таблице легко подсчитать число холодильников, проданных в магазине за месяц: 0·1+1·7+2·8+3·9+4·2+5·1 = 63. Чтобы подсчитать среднее число холодильников, продававшихся в один день месяца, нужно эту сумму разделить на 30, в результате получим 2.1. Если в приведенной таблице каждое число второй строки поделить на 30, то получится последовательность дробей

,

каждая дробь представляет собой так называемую относительную частоту, с которой в данный месяц появлялся приведенный в верхней строке объём продаж. Очевидно, что если просуммировать все произведения чисел, стоящих в первой строке таблицы, на их относительные частоты, то получится то же среднее число продававшихся в один день холодильников:

.

Если бы в последней формуле относительные частоты рассчитывались не для одного месяца, а для существенно большего срока, то при некоторых условиях (например, при отсутствии кризисных явлений, существенно влияющих на спрос населения на дорогостоящие товары) эти относительные частоты можно было бы считать довольно близкими к вероятностям соответствующих значений объёма продаж. Таким образом, приходим к выводу, что математическое ожидание случайной величины – это в некотором смысле её среднее значение.

Характеристиками рассеивания возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднеквадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения значений величины от ее математического ожидания: .

Для дискретных величин она определяется по формуле

.

При практических вычислениях используют формулу

.

Для непрерывных случайных величин дисперсия определяется формулой

.

Вычислительная формула для D(X):

.

Дисперсия характеризует меру рассеяния возможных значений случайной величины около ее математического ожидания. Из двух величин с равными математическими ожиданиями та считается «лучшей», которая имеет меньший разброс.

Свойства дисперсии:

§ D(C)=0 (С=const);

§ D(CX)=C²D(X) (С=const);

§ D(X±Y)=D(X)+D(Y) ( для независимых случайных величин ).

Корень квадратный из дисперсии случайной величины называется средним квадратическим отклонением и обозначается s(X) или s_x:

.

Пример. Случайная величина X распределена по следующему закону:

X
P(X)	0.2	0.3	0.5

Найти M(X) и D(X).