Примеры дискретных уравнений.

1.Равномерное дискретное распределение. Пусть N-целое положительное число,xi=1,2,...,N; pi=1/N,i=1,2,..,N;

2.Распределение Пуассона с параметром Лямбда>0. Ставится задача найти вер-ть того, что при оч. Большом числе испытаний, в каждом из кот-х вер-ть соб-я оч. Мала, соб. Наступит ровно k раз. xk=k; Pk=e^-лямбдa* (лямбда^k/k!);k=0,1,2.... Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (p мало) событий.

E e^-лямбда*(лямбда^k*k!)=e^- лямбда* E лямбда^k/k!=e^-лямбда*e^лямбда=1 ЕРк=1

3.Биномиальное распределение. Бин-м наз-т распр-е вероят-й, определ-е формулой Бернулли. Пусть с.в. Х=число успехов в схеме Бернулли в серии из n испытаний, тогда закон распределения имеет вид:

Биномиальное распр-е с параметром n и p. (xk=k,Pk=C^k n*p^k*q^(n-k),k=0,...,n) x-число успехов в схеме Бернулли. E C^k n*p^k*q^(n-k) = (p+q)^n=1

Первый член p^n определяет вероятность наступления рассматриваемого соб-я n раз в n независимых испытаниях; второй член (np^n-1)*q определяет вероятность наступления соб-я n-1 раз;…; последний член q^n определ-т вер-ть того, что соб-е не появится ни разу.

4.Геометрическое распределение.

Пусть с.в. Х-число испытаний,которое необходимо провести прежде,чем появится первых успех в схеме Бернулли. Закон распр-я имеет вид:xi=0,1,....; pi=q^i*p,i>=0.

E pk=E q^k*p=P Eq^k=p* 1/(1-q) = p/p=1

Пр.:Бросается кость до 1го выпадения цифры 6. Построить закон распределения. р=1/6 q=5/6 Рк=q^k*p=5/6^k*1/6

x^k 0 1... k...

Pk 1/6 5/6*1/6... (5/6)^k*1/6...

 

14.Функция распределения и её св-ва.

Функция F(x) в равной мере p(w:X(w)<x)=P(X<x) - наз-ся ф-цией распределения случ.вел.Х.

-бесокнеч-ть<x<бесконечн-ть

Теорема. Функция распределения удовлетворяет след.св-вам: 1.0<=FX(x)<=1 (значения ф-ции распред-я принадлежат отрезку [0;1])

2.F(x)-не убывает,т.е. если х1<=x2,то F(x1)<F(x2); 3.lim FX(x)=1 4.lim(х стремится к -бескон) FX=0. 5.P(x1<=x<=x2)=F(x2)-F(x1). Т.к. х-непрер. С.в. то ф-ция F(x)- непрерывна.

Функция дискретной с.в Х с законом распр-я (xi,pi) имеет вид: P(x) = E(внизу написать i: xi<x))*Pi

Пусть с.в имеет распр-я: хi -2 -1 1

pi 0,1 0,2 0,7

F(x)=0,x<=-2

0,1,-2<x<=-1

0,3,-1<x<=1

1, x>1

график ступеньками.