Закон больших чисел(ЗБЧ) в форме Чебышева и в форме Бернулли(с выводом).

Нерав-во Чебышева. Если случ. X>=0, то для (Апереверн.т.е.любого) Э>0

P(|X-MX|>=Э)<=DX/Э^2

ЗБЧ в форме Чебышева: Пусть Х1,Х2,...,-последовательность независимых с.в. с конечными дисперсиями,т.е DXi<c<8,при любых i. Тогда Апереверн.Э >0 выполняется соотношение P(|1/n EXi-1/n EMXi| >= Э), при n-->8.

Док-во: Т.к. P(|X-MX|>=Э)<=DX/Э^2

x=1/n E(от 1 до n)xi

MX=1/n E(от 1 до n)MXi

дисперсия х-->DX=D (1/n Exi)=1/n^2 E (DXi), а это с <=1/n^2 E c=nc/n^2=c/n

P(|1/n EXi-1/n EMXi| >= Э)<=DX/Э^2<=c/n*Э^2 --> 0

ЗБЧ в форме Бернулли: Пусть мера(n)-число успехов в схеме Бернулли.Тогда Апереверн.Э >0 выполняется соотношение P(|(мера(n)/n) -p| >= Э) ---> 0,при n-->8.

Таким образом,частота успеха (мера(n)/n) сближается по вероятности с вероятностью успеха в схеме Бернулли при неограниченном росте числа испытаний n.

Док-во: Ii= {1,успех в итом испытании

0,неуспех

M(n)=E (от 1 до n)Ii

Mбольшая (Mмаленькая(n))=np/n=p.

M(n)/n=E Ii/n M (M(n)/n) = np/n =p подставляем в теорему:

P(|E Ii/n| >= Э|)-->0

 

Основные понятия мат.статистики.

Мат.ст-ка изучает методы сбора,систематизации и обработки наблюдений с целью выявления стат.закономерностей.В мат.ст-ке существуют две основные задачи: 1.Указать способы сбора и группировки стат.сведений,полученных в рез-те наблюдений или в рез-те экспериментов.

2.Разработка методов анализа стат.данных в заисимости от целей исследования: -)оценка неизвестной вероятности события; -)оценка неизвестной функции распределения; -)оценкан неизвестных параметров распределения,вид которого известен; -)оценка завис-ти ф-ции распр-я от ф-ции распр-я др.с.в.(оценка условных распр-й); -)проверка стат.гипотез о виде неизв.ф-ции распр-я или о величине параметров распр-я,вид которого известен.

Сущ-ют след.методы сбора информации: 1.Метод сплошных набл-ий. 2.Выборочный метод.

Опр1.Генеральная сов-ть - исходная сов-ть всех исследованных объектов.

Опр2.Выборка-часть ген.сов-ти,отобранная случ.образом и наиб.полно представляющая ген.сов-ть.

Опр3.Объем выборки-число элементов выборки.

Опр4.Вар.ряд-выборка,упорядоч.по возрастанию.

Опр5.Размах выборки-разница м/у мах и мин. элементами выборки.

Пр.: -1,5,2,-1,5

n=5 (объем выборки) размах=5-(-1)=6. вар.ряд: -1,-1,2,5,5

Опр.6.Частота варианты ni-число повторений варианты xi в общем объеме выборки, Eni=n.

Опр.7.Относит.частот варианты wi-доля варианты xi в общем объеме выборки,wi=ni/n, E wi=1.

Опр.8.Набор {xi,ni} наз-ся стат.распр-ем выборки.Таблица стат.распр-я выборки имеет след вид:

x1 x2... xk xi -1 2 5

n1 n2... nk ni 2 1 2 Eni=5

В более общей постановке под выборкой X1,..,Xn понимается набор с.в,кот.подвергаются изучению.В мат.ст-ке данные выборки,т.е с.в. Xi,считаются независимыми одинаково распределен.с.в,т.е задаются одной и той же ф-цией распр-я F(x)=P(Xi<=x) для всех i.Как правило,эта ф-ция неизвестна и она явл-ся объектом интереса.Говорят,что X1,..,Xn явл-ся выборкой из теоретич.распр-я.