Обработка результатов методом наименьших квадратов

 

Очень часто в практике встречаются задачи, когда известны численные значения аргументов с их экспериментальными ошибками, и необходимо определить функцию, которая связывает эти величины.

Итак, пусть исследуется зависимость некоторой физической величины y от другой физической величины x:

,

которая неизвестна и которую нужно найти.

На рис. 1.1 представлена совокупность экспериментальных точек (x_i, y_i), где i = 1, 2, 3,..., n. При этом y_i − случайные величины, каждая из которых отклоняется от истинного значения на некоторую случайную величину .

Проведение и уравновешивание кривой по экспериментальным точкам относится к так называемому регрессионному анализу, который обычно базируется на методе наименьших квадратов. При этом наилучшей кривой считают ту, для которой минимальна сумма квадратов отношения ε_i / σ_i, где ε_i − указанное выше отклонение эмпирических точек y_i от предполагаемых, а σ_i − среднеквадратичная ошибка измерений, т. е.

.

 

Рис. 1.1. Кривая, построенная по экспериментальным точкам

методом наименьших квадратов

 

Обычно искомую функцию аппроксимируют каким-либо полиномом конечной степени m − 1, например,

,

и достигают минимума указанной квадратичной формы, варьируя сумму по коэффициентам B_k, т. е.

, (k = 0, 1,…, m − 1).

Тогда коэффициенты регрессии B_k определяются линейной системой уравнений

, k’ = 0, 1,…, m − 1,

и вычисляются согласно общим методам решения линейных уравнений. Очевидно, что для нахождения m коэффициентов кривой регрессии требуется число экспериментальных точек .