Свойства математического ожидания.
1) Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной: М (С) = С. (7.2) Доказательство. Если рассматривать С как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение С с вероятностью р = 1, то М (С) = С ·1 = С. 2) Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания: М (СХ) = С М (Х). (7.3) Доказательство. Если случайная величина Х задана рядом распределения
то ряд распределения для СХ имеет вид:
Тогда М (СХ) = Сх 1 р 1 + Сх 2 р 2 + … + Схпрп = С (х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + хпрп) = СМ (Х). Определение 7.2. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы. Определение 7.3. Назовем произведением независимых случайных величин Х и Y случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений Х на все возможные значения Y, а соответствующие им вероят-ности равны произведениям вероятностей сомножителей. 3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M (XY) = M (X) M (Y). (7.4) 4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или незави-симых) равно сумме математических ожиданий слагаемых: M (X + Y) = M (X) + M (Y). (7.5) Дисперсия. Для того, чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточно знать только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y, заданные рядами распределения вида
Найдем М (Х) = 49·0,1 + 50·0,8 + 51·0,1 = 50, М (Y) = 0·0,5 + 100·0,5 = 50. Как видно, мате-матические ожидания обеих величин равны, но если для Х М (Х) хорошо описывает пове-дение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (при-чем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y существенно отсто-ят от М (Y). Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, на-сколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия. Определение 7.5. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математи-ческое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания: D (X) = M (X – M (X))². (7.6) Теорема 7.1. D (X) = M (X ²) – M ²(X). (7.7) Свойства дисперсии. 1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D (C) = 0. (7.8) Доказательство. D (C) = M ((C – M (C))²) = M ((C – C)²) = M (0) = 0. 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D (CX) = C ² D (X). (7.9) Доказательство. D (CX) = M ((CX – M (CX))²) = M ((CX – CM (X))²) = M (C ²(X – M (X))²) = = C ² D (X). 3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D (X + Y) = D (X) + D (Y). (7.10) 4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D (X – Y) = D (X) + D (Y). (7.11) Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением. Определение 7.6. Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
Ч исловые характеристики непрерывных случайных величин. Распространим определения числовых характеристик случайных величин на непре-рывные случайные величины, для которых плотность распределения служит в некото-ром роде аналогом понятия вероятности. Определение 7.7. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется
Замечание 1. Общее определение дисперсии сохраняется для непрерывной случайной величины таким же, как и для дискретной (опр. 7.5), а формула для ее вычисления имеет вид:
Среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле (7.12). Замечание 2. Если все возможные значения непрерывной случайной величины не выходят за пределы интервала [ a, b ], то интегралы в формулах (7.13) и (7.14) вычисля-ются в этих пределах.
Задача:
принимает максимальное значение, при условии следующих ограничений:
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
Шаг:1
x1, x2, x3, x4, s1 ≥ 0 Шаг:2 Введем в уравнения 1, 2 искусственные неотрицательные переменные u1, u2.
x1, x2, x3, x4, s1, u1, u2 ≥ 0 с базисными переменными u1, u2, s1.
Проведем ее минимизацию. Если после минимизации функции G ее оптимальное значение будет равно нулю и все искусственные переменные окажутся выведенными из базиса, то полученное базисное решение есть допустимое базисное решение исходной задачи. Если же после минимизации функции G ее оптимальное значение окажется отличным от нуля, значит исходная система ограничений противоречива (область допустимых решений пуста) и исходная задача решения не имеет. Для решения вспомогательной задачи симплекс-методом выразим функцию G через свободные переменные, для этого: Функция G примет вид:
Итерация 1
Итерация 1-a
Итерация 2
Достигнуто оптимальное решение, т.к. в строке целевой функции нет положительных коэффициентов. Ответ:
достигается в точке с координатами:
Наша симплекс-таблица представляет собой расширенную матрицу системы ограничений с некоторыми дополнительными столбцами и строками. Рассмотрим пример симплекс таблицы для следующей задачи: Найти значения переменных x1...x5, при которых функция:
принимает максимальное значение, при условии следующих ограничений:
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0 Симплекс таблица имеет следующий вид:
Самая верхняя строка - чисто информационная, в ней указывается назначение столбцов. Столбец "БП" также информационный, каждая клетка этого столбца содержит имя переменной, являющейся базисной в соответствующем уравнении системы ограничений. В нашем примере, в первом уравнении, базисной переменной является переменная X3, во втором X4, в третьем X5. Столбцы X1...X5 содержат коэффициенты при соответствующих переменных в уравнениях системы ограничений (каждому уравнению соответствует отдельная строка). В столбец "Решение" изначально записываются свободные члены соответствующих уравнений. Они же показывают значения базисных переменных для текущегого решения, отображаемого симплекс-таблицей, на некотором шаге (итерации) решения задачи. Коэффициенты целевой функции отражаются в симплекс-таблице в строке "Q", свободный член, как и в случае с уравнениями системы ограничений, изначально записывается в столбец "Решение". Он же одновременно является значением целевой функции, но записанный с противоположным знаком (это удобно для симплекс-метода). В нашем примере показанная симплекс-таблица соответствует некоторому решению при котором переменные X3, X4, X5 равны соответственно 64, 70, 18 (см. столбец "Решение"), а остальные перемнные равны нулю. Значение целевой функции "Q" при этом равно двум (что несложно проверить подставив значения переменных в выражение для целевой функции). В нашем примере свободный член равен -2 (минус два) т.к. в записи целевой функции он записан вместе с переменными по одну сторону от знака равенства, а свободные члены в уравнениях системы ограничений по другую. Поэтому перед записью в таблицу его необходимо перенести вправо от знака равенства. Строка "Q" в данном примере выделена желтым цветом, это значит, что по ней будет приниматься решение относительно выбора разрешающего столбца (иногда его называют направляющим). Разрешающий столбец соответствует переменной, которая будет введена в базис (в список базисных переменных) на следующей итерации решения задачи. Цель подобной замены базиса - улучшение значения целевой функции. Критерием выбора разрешающего столбца является максимальный положительный коэффициент в строке "Q", при решении задачи на максимум, или минимальный отрицательный, при решении задачи на минимум. Если после очередной итерации в строке не окажется положительных (при максимизации), или отрицательных (при минимизации) коэффициентов, то оптимальное решение достигнуто. В нашем примере разрешающий столбец выбран по коэффициенту 7 (максимальный положительный т.к. задача на максимум), он соответствует переменной X2, именно она будет введена в базис на следующей итерации. Числа стоящие в направляющем столбце окрашиваются красным цветом. Красным цветом также окрашивается и разрешающая (направляющая) строка, она соответствует переменной которая будет выведена из базиса (списка базисных переменных) на следующей итерации. Для ее определения рассчитывается и заполняется столбец "Отношение". Его элементы представляют собой отношения элементов столбца "Решение" к соответсвующим элементам направляющего столбца (кроме строки "Q"). Выбор разрешающей строки производится по минимальному значению из всех отношений. Важно то, что данные отношения рассчитываются только для положительных элементов направляющего столбца. Если на некоторой итерации в направляющем столбце положительных коэффициентов не окажется, то целевая функция исходной задачи неограничена, задача не имеет решения.
|
. (7.12)
(7.13)
(7.14)
