Отображение p-плоскости на z- плоскость

Используя взаимосвязь между комплексными переменными и (1.24), рассмотрим отображение на z -плоскость:

- характерных точек p -плоскости;

- отрезков мнимой оси j w и всей оси j w p -плоскости;

- коридоров в левой и правой p -полуплоскостях.

1. Начало координат p -плоскости – точка с координатами (s = 0; w = 0) отображается в точку z -плоскости с координатами (x = 0; h = 0); в полярных координатах (r = 1; j = 0), (рис. 1.11, табл.1.3):

.

Рис. 1.11. Отображение точек p -плоскости на z -плоскость

2. Точка p -плоскости с координатами (s = –¥; w = 0) соответствует началу координат z -плоскости – точке с координатами (x = 0; h = 0):

.

3. Точка p- плоскости на оси частот j w с координатами (s = 0; w = p / 2 T) отображается в точку z -плоскости с координатами (x = 0; h = 1); в полярных координатах (r = 1; j = p/2), (рис. 1.11, табл.1.3):

.

4. Точка p- плоскости на оси j w с координатами (s = 0;
w = –p / 2 T) отображается в точку z -плоскости с координатами (x = 0; h = –1); в полярных координатах (r = 1; j = –p/2), (рис. 1.11, табл.1.3):

.

5. Две точки p- плоскости на оси j w с координатами (s = 0; w = ±p / 2 T) отображаются в одну точку z -плоскости с координатами (x = –1; h = 0); в полярных координатах (r = 1; j = ±p), (рис. 1.11, табл.1.3):

.

6. Отрезок оси частот j w p -плоскости

;

на z -плоскости отображается в окружность единичного радиуса (единичную окружность):

;

; ;

радиус-вектор совершает один полный оборот против часовой стрелки, начиная с точки , т. е. угол j на z -плоскости ограничен областью главных значений.

Несложно показать, что при движении точки с начальными координатами (s = 0; w = p / T) вдоль оси j w вверх частотный интервал отображается на z -плоскости в k совпадающих единичных окружностей :

p < w ≤ (p + 2p k) Þ D = 2p k, k = 1, 2, …

Аналогично, при движении точки с начальными координатами (s = 0; w = –p / T) вдоль оси j w вниз частотный интервал также отображается на z -плоскости в k совпадающих единичных окружностей :

–(p + 2p k) < w ≤ –p Þ D = 2p k, k = 1, 2, …

Таким образом, мнимая ось j w отображается в бесчисленное множество совпадающих единичных окружностей, вследствие чего возникает неоднозначность отображения точек p -плоскости на z -плоскость.

Для их взаимно однозначного отображения ограниваются частотным диапазоном

® ,

в результате чего p -плоскость ограничивается «коридором» между двумя линиями, параллельными оси абсцисс и пересекающими ось ординат j w в точках (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Соответствие p - и z - плоскостей
при их взаимно однозначном отображении

7. Коридор в левой p- полуплоскости

; ®

на z- плоскости отображается в круг единичного радиуса (единичный круг) (рис. 1.13, табл.1.3

;

; ® .

Рис. 1.13. Отображение «коридора» в левой p -полуплоскости на z -плоскость

8. Коридор в правой p- полуплоскости

; ®

на z- плоскости отображается в область вне единичного круга (рис. 1.14, табл.1.3):

;

; ® .

Рис. 1.14. Отображение «коридора» в правой p -полуплоскости на z -плоскость

 

Таблица 1.3