Круговая свертка.

Пусть x(nT) и y(nT) имеют ДПФ X(k) и Y(k) соответственно. Если последовательность u(nT) равна круговой свёртке последовательностей x(nT) и y(nT) и

то её ДПФ равно U(k) = X(k)∙Y(k).

Если x(nT) и y(nT) имеют ДПФ X(k) и Y(k) соответственно, то ДПФ последовательности u(nT) = x(nT)y(nT) равно (с точностью до постоянного множителя) круговой свертке Х(k) и Y(k):

Для нас очень важно одно следствие данного свойства:

Если x(nT) и y(nT) имеют ДПФ X(k) и Y(k) соответственно, то ДПФ ковариационной последовательности

будет равно

где * означает комплексную сопряженность.

Последовательность S_xy(k) называется кросс-спектром последова­тельностей X(k) и Y(k). Обратное ДПФ кросс-спектра дает вре­менную ковариационную функцию

Поскольку для вычисления ковариации во временной области требу­ется произвести N(N-1)/2 умножений, а в частотной - лишь N/2 (вследствие симметричности спектра), то обычно сначала опреде­ляют кросс-спектральную последовательность, а затем находят ее образ во временной области, куда она отображается в вида кова­риационной последовательности.

Однако следует помнить, что в силу конечности преобразова­ния при обратном ДПФ получается не ковариационная, а круговая ковариационная функция :

Для того, чтобы получить истинную ковариационную функцию, ис­ходные последовательности x_i, y_i, i =0,1,…,(n-1) необ­ходимо дополнить нулями до размерности 2N-1.