Задача 3.6

Получить формулу (3.6).

Решение

Из формулы (3.3) получаем выражение для вычисления энергии реакции:

Q = T 2 – T 1 = M 1 – M 2,

(3.6.1)

где Т ₁= T_а + T_А и М ₁ = m_а + М_А, Т ₂ = m_b + М_B и М ₂ = m_b + М_B, – суммарные кинетические энергии и суммарные энергии покоя частиц до и после реакции, которое имеет место в любой инерциальной системе отсчета. Определим порог реакции как минимальное значение кинетической энергии (Т_а)_пор налетающей частицы а (частица А покоится!) в ЛСК, при которой кинетические энергии образовавшихся частиц b и В равна нулю в СЦИ. Для решения задачи удобно воспользоваться релятивистским инвариантом

Е ² – Р ² с ² = inv,

который сохраняется для любой изолированной системы в любой инерциальной системе отсчета. Здесь Е = М + Т и Р – полная энергия и импульс произвольной системы тел, взаимодействующих только между собой. Инвариант системы до реакции при пороговой энергии (Т_а)_пор в ЛСК:

inv = [ M 1+ (Та)пор]2 - ,

(3.6.2)

но

+ m_а ² = = [ m_а + (Т_а)_пор]²,

откуда

= + 2 m_а ·(Т_а)_пор.

Подставляя полученное выражение в (3.2) и выполняя необходимые преобразования, получим:

inv = M 12 + 2 Mа 2·(Та)пор.

(3.6.3)

Инвариант для частиц с энергией покоя М ₂, образовавшихся в результате эндоэнергетической реакции, в СЦИ будет равет:

inv = M 22,

(3.6.4)

так как их кинетическая энергия в СЦИ при пороговой кинетической энергии (Т_а)_пор равна нулю.

Приравнивая инварианты (3.6.3) и (3.6.4), получим

(Та)пор= (M 22 - M 1)2/ 2 MАс 2= = (M 2 - M 12) (M 1+ M 2) / 2 MА = = (M 2 - M 1) (M 1+ M 2 + M 1 - M 1)/ 2 MА = = (M 2 – M 1) [2 M 1+ (M 2 - M 1)]/2 MА = = | Q | + ,

(3.6.5)

так как согласно (3.6.1) (M ₂ – M ₁) = | Q |. Второе слагаемое в (3.6.5) при | Q | < 100 МэВ ничтожно мало по сравнению с первым, и поэтому

(Та)пор= | Q |.

(3.6.6)

Однако оно становиться значимым при расчете пороговой энергии ядерных реакций, приводящих к рождению барионов и гиперонов.

Решим эту же задачу, используя законы классической (не релятивистской) механики. Законы сохранения энергии и импульса при пороговом значении кинетической энергии налетающей в ЛСК частицы а:

(Та)пор = | Q |+ Т 2;	(3.6.7)
Ра = Р 2.	(3.6.8)

Т ₂ и Р ₂ определяют движение центра инерции образовавшихся частиц, так как их взаимная кинетичечкая энергия равна нулю при Т_а = (Т_а)_пор. Используем классическую связь между импульсом и кинетической энергией

,

(3.6.9)

так как полагаем, что зависимостью массы системы от скорости можно пренебречь и поэтому скорости движения частиц много меньше скорости света. Действительно, даже если кинетическая энергия (Т_а)_пор налетающей частицы а полностью переходит во внутреннюю энергию и изменяет массу системы, то

Δ М = М ₂ – М ₁ ≤ (Т_а)_пор,

так как (Т_а)_пор << М ₁, при энергиях налетающих частиц менее 100 МэВ. Поэтому, при кинематических расчетах в нерялитивистском случае можно считать, что

М 2 = М 1.

(3.6.10)

Тогда, из (3.6.1), (3.6.8) и (3.6.9) получаем

(Та)пор = | Q | + (Та)пор = ,

(3.6.11)

Или, учитывая (3.6.10),

(Та)пор = .

(3.6.12)

Полученная формула (3.6.12) является приближенной и ее отличие от точной формулы (3.6.5) вызвано пренебрежением релятивистским изменением массы.