Двоичные логические элементы

ЭВМ и другие цифровые электронные устройства работают в строгом соответствии с четкими логическими законами, знание и понимание которых помогает в общении с компьютером. Основными составными частями любых цифровых схем являются логические элементы. Именно логические элементы образуют основу даже самых сложных современных ЭВМ. Логические элементы оперируют с двоичными числами, поэтому называются двоичными логическими элементами.

Термин «логический» обычно применяют по отношению к процедуре принятия решения. Следовательно, можно сказать, что логический элемент — это такая схема, которая «основываясь» на входных сигналах, «может решать», что ей ответить на выходе — «да» или «нет».

При записи тех или иных логических выражений используется специальный язык, который принят в математической логике. Основоположником математической логики является великий немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716 гг.). Он сделал попытку построить универсальный язык, с помощью которого споры между людьми можно было бы разрешить посредством вычислений. На заложенном Лейбницем фундаменте английский математик Джордж Буль построил здание новой науки – математической логики, которая в отличие от обычной алгебры оперирует не числами, а высказываниями. В честь Д. Буля логические переменные в языке программирования Паскаль впоследствии назвали булевыми.

Высказывание – это любое утверждение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно, т.е. соответствует оно действительности или нет. Таким образом, высказывания являются двоичными объектами и поэтому часто истинному значению высказывания ставят в соответствие 1, а ложному – 0. Например, запись А=1 означает, что высказывание А истинно. Высказывания могут быть простыми и сложными. Простые высказывания соответствуют алгебраическим переменным, а сложные являются аналогом алгебраических функций. Функции могут получаться путем объединения переменных с помощью логических действий.

Самой простой логической операцией является операция НЕ (ее называют также отрицанием, дополнением или инверсией и обозначают NOT). Логическая операция НЕ является унарной, т.е. имеет всего один операнд. Записывается в виде Ā. Основная функция схемы НЕ (инвертора) состоит в том, чтобы обеспечивать на выходе сигнал, противоположный сигналу на входе.

Операции И (AND) и ИЛИ (OR) являются бинарными, т.к. представляют собой результаты действий над двумя логическими величинами. Логическое И часто называют конъюнкцией, или логическим умножением. В математической логике для обозначения конъюнкции используются знаки &; или Ù;. Булево выражение записывается в виде А Ù В.

Операцию ИЛИ называют дизъюнкцией, или логическим сложением. В математической логике используется знак Ú. Записывается в виде булевого выражения А Ú В.

Три основные логические операции И, ИЛИ, НЕ называют «тремя китами машинной логики». Они образуют полную систему логических операций, из которой можно построить сколь угодно сложное логическое выражение.

В вычислительной технике также часто используется операция исключающее ИЛИ (XOR), которая отличается от «обыкновенного» ИЛИ только при Х=1 и Y=1 (сложение по модулю 2). Операция XOR фактически сравнивает на совпадение два двоичных разряда. Булево выражение записывается А Å В. Символ Å (псевдоплюс) означает, что входы (А и В) элемента связаны логической функцией исключающей ИЛИ.

Теоретически основными базовыми логическими операциями считаются именно: И, ИЛИ, НЕ, но на практике по технологическим причинам в качестве основного логического элемента используется элемент И-НЕ, который реализует логическую функцию И-НЕ (инвертированное И). Булево выражение записывается А Ù В. Логические элементы И-НЕ применяются очень широко и их можно использовать для реализации других логических функций.

 

Условные обозначения основных логических элементов приведены на рис.5.

 

 

И ИЛИ НЕ И-НЕ исключающее

ИЛИ

Рис.5. Условное обозначение основных логических элементов

 

В качестве одного из способов задания логической функции может рассматриваться таблица истинности (табл.4).

Таблица истинности ¾ таблица, в которой определяют значение функции в зависимости от комбинаций входных сигналов.

Таким образом, существуют три основных инструмента для решения задач символической логики: условные обозначения (символы) логических элементов, таблицы истинности и булевы выражения.

 

Таблица истинности для логических элементов

Таблица 4

И	ИЛИ	НЕ (инвертор)	Исключающее ИЛИ
Входы	Выход	Входы	Выход	Вход	Выход	Входы	Входы
X	Y	Z (X*Y)	X	Y	Z (X+Y)	X	Z (инвертированный вход X)	X	Y	Z

 

 

Законы алгебры логики

Алгебра логики или булева алгебра ¾ специальная математическая дисциплина, которая используется для описания схем ЭВМ, их оптимизации и проектирования, т.е. является теоретической основой построения ЭВМ. Основоположником этой дисциплины является английский математик прошлого столетия Джордж Буль.

Элементарные высказывания:

 

 

В алгебре логики установлен целый ряд законов, с помощью которых возможно преобразование логической функции (ЛФ):

§ коммутативный (переместительный):

х₁^х₂=х₂^x₁; х₁Úх₂=х₂Úх₁;

§ ассоциативный (сочетательный):

(х₁^х₂) ^х₃=(х₁^х₃) ^х₂=х₁^ (х₂^х₃) (х₁Úх₂) Úх₃=х₁Ú (х₂Úх₃).

Эти законы полностью идентичны законам обычной алгебры:

§ дистрибутивный (распределительный):

х₁^ (х₂Úх₃)=х₁^х₂Úх₁^х₃ х₁Úх₂^х₃=(х₁Úх₂)(х₁Úх₃);

§ закон поглощения. В дизъюнктивной форме ЛФ конъюнкция меньшего ранга, т.е. с меньшим числом переменных, поглощает все конъюнкции большего ранга, если ее изображение содержится в них. Это же справедливо и для конъюнктивных форм:

х₁Úх₁^х₂=х₁ х₁^ (х₁Úх₂)=x₁;

§ законы склеивания:

х₁ х₂ Ú х₁ х₂ = х₁ (х₁ Ú х₂) (х₁ Ú х₂ ) = х₁;

FxÚFx=F (xÚF)(xÚF)=F,

где F – логическая функция общего вида, не зависящая от переменной х;

§ закон свертки:

х Ú x F=x Ú F x (x Ú F) = x F;

§ правило де Моргана:

х₁Úх₂ = х₁ ^ х₂ х₁^х₂ = х₁ Ú х₂

 

Убедиться в тождественности произведенных зависимостей можно путем аналитических преобразований выражений или путем построения таблицы истинности для логической функции.