Устойчивость двойственных оценок

Двойственные оценки при некотором изменении запасов ресурсов называются устойчивыми, если при решении измененной ЗЛП эти двойственные оценки не изменяются. Разумеется, обеспечить устойчивость двойственных оценок можно только в определенных границах. Эти границы определяются следующей теоремой.

Теорема. При изменении объёма ресурсов двойственные оценки будут устойчивыми, если выполняется неравенство:

(14)

В формуле (14) вектор означает первоначальный объём ресурсов. Матрица составлена, как уже указывалось выше, из столбцов последней симплекс-таблицы, соответствующих первоначальному базису. Например, если изменить запасы ресурсов в ранее рассмотренной задаче на величину (штрих означает транспонирование, а знак минус уменьшение объёма третьего ресурса), то можно проверить условие устойчивости так:

Таким образом, при данном изменении объёмов ресурсов двойственные оценки не изменятся (будут устойчивыми).

Новое значение целевой функции при измененных ресурсах можно определить по выражению:

.

Значение находим с использованием первой теоремы двойственности:

.

Применяя результаты нашего примера, получим

. Отсюда

Выражение (14) можно также использовать для определения границ устойчивости двойственных оценок по ресурсам. Однако неравенство (14) представляет собой многогранник в многомерном пространстве, и совместное решение довольно сложно. Поэтому целесообразно решать эти неравенства по каждому из ресурсов отдельно, принимая все остальные ресурсы неизменными.