Постановка транспортной задачи

Транспортная задача (ТЗ)-частный случай ЗЛП, который в силу своих особенностей допускает решение более простыми методами. В задаче имеются следующие исходные данные:

- есть m пунктов отправления (ПО), или поставщиков, или баз , где находятся запасы груза ;

- есть n пунктов назначения (ПН), или потребителей, или получателей , подавших заявки на единиц груза;

- известны тарифы , или стоимость перевозки единицы груза от i- го поставщика к j- му потребителю.

Найти план перевозок, имеющий минимальную стоимость, позволяющий вывезти все грузы с ПО и удовлетворить потребности всех потребителей.

Обозначим через объём перевозок от i- го поставщика к j- му потребителю. Рассмотрим распределительную (транспортную) таблицу:

ПН ПО	B1	B2	…	Bn	Запасы
А1	C 11 x11	C 12 x12	…	C 1n x1n	a1
А2	C 21 x21	C 22 x22	…	C 2n x2n	a2
	…	…	…	…
Аm	C m1 xm1	C m2 xm2	…	C mn xmn	am
Потребности	b1	b2	…	bn

Строки таблицы соответствуют базам, а столбцы-заказчикам. Например, перевозка груза с 3-й базы 2-му заказчику соответствует клетке на пересечении строки А₃ и столбца В₂.

Составим экономико-математическую модель задачи. Будем считать, что общее количество запасов на всех базах равно общему объёму заявок потребителей (такая ТЗ называется закрытой).

Составим ограничения по запасам. Очевидно, что все запасы должны быть вывезены. Поэтому суммарный объём перевозок с каждой базы (т.е. сумма значений перевозок по каждой строке таблицы) должна равняться соответствующему запасу:

(1)

Составим ограничения по потребностям. Поскольку каждый потребитель должен получить точно заказанное количество единиц груза, сумма перевозок по каждому столбцу транспортной таблицы будет равна объёму заказа:

(2)

Ограничения на переменные, которые по смыслу должны быть неотрицательными, имеют обычный вид:

(3)

Целевая функция имеет смысл общей стоимости всех перевозок, которая должна быть минимальна:

(4)