Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод Гаусса. Как было отмечено выше, метод Крамера и матричный метод имеют один существенный недостаток: они неприменимы





 

Как было отмечено выше, метод Крамера и матричный метод имеют один существенный недостаток: они неприменимы, если определитель системы равен нулю. В связи с этим, рассмотрим еще один, наиболее универсальный метод решения систем линейных алгебраических уравнений – метод Гаусса.

 

Пусть число уравнений системы совпадает с числом неизвестных1.

(1.2)

 

Расширенной матрицей системы (1.2) называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов:

 

 

(1.3)

 

Расширенная матрица системы называется верхнетреугольной, если в матрице системы все элементы ниже главной диагонали равны нулю:

(1.4)

 

Расширенную матрицу системы мы будем называть диагональной, если матрица системы представляет собой единичную:

(1.5)

 

К элементарным преобразованиям расширенной матрицы системы относятся преобразования трех типов:

 

1) Перемена местами любых двух строк:

.

 

2) Умножение любой строки на любое число, отличное от нуля

.

 

3) Прибавление к любой строке любой другой, умноженной на произвольное число:

.

 

Известно, что элементарные преобразования расширенной матрицы системы приводят к эквивалентной матрице, т.е. система линейных алгебраических уравнений, соответствующая полученной матрице, имеет те же решения, что и исходная.

Идея метода Гаусса заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований от расширенной матрицы системы вида (1.3) перейти вначале к верхнетреугольной матрице (1.4) (прямой ход метода Гаусса), а затем и к диагональной (1.5) (обратный ход метода Гаусса).

Если при переходе к верхнетреугольной матрице в матрице системы не возникло ни одной нулевой строки (это соответствует тому, что определитель исходной системы отличен от нуля), то система имеет единственное решение. Его легко найти, исходя из диагонального вида: .

 

Продемонстрируем на примерах технику использования элементарных преобразований.

 

Пример 8. Решить систему уравнений .

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

.

Выберем в первом столбце ведущий элемент, т.е. элемент, с помощью которого удобно будет сделать нули под ним. Таким числом является единица. Поменяем местами первую и третью строки ( элементарное преобразование 1-го вида):

С помощью элементарных преобразований 3-го типа делаем нули под ведущим элементом ():

 

.

 

Теперь выбираем ведущий элемент во втором столбце. Поскольку пока единицы нет, то её желательно создать. Для этого из второй строки вычтем удвоенную третью ():

.

Делаем нуль под ведущим элементом ():

.

Умножим третью строку на ( – элементарное преобразование 2-го типа):

.

Мы получили матрицу верхнетреугольного вида. Переходим к обратному ходу метода Гаусса. В качестве ведущего элемента выбираем единицу, стоящую в третьем столбце. Делаем нули над ней ():

.

Последний шаг. С помощью единицы во втором столбце зануляем элемент над ней ():

.

Получена матрица диагонального вида. Проверку полученного решения сделайте самостоятельно. Ответ: .n

Если при переходе к верхнетреугольной матрице в матрице системы возникает хотя бы одна нулевая строка (это означает, что определитель исходной системы равен нулю), то система либо не имеет решения вовсе, либо имеет бесчисленное множество решений.

 

Пример 9. Решить систему уравнений

 

Решение.

 

Распишем последнюю строку полученной матрицы в виде уравнения:

Очевидно, что это уравнение, а значит и вся система, решений не имеет. n

 

Пример 10. Решить систему уравнений .

Решение.

 

.

 

В отличие от предыдущего примера, последняя строка непротиворечива. Она указывает на то, что третье уравнение системы является следствием первых двух. Таким образом, мы, фактически, получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Такая система имеет бесчисленное множество решений. Для того чтобы их найти, одну из переменных (её называют свободной) переносят в правую часть расширенной матрицы, а остальные переменные (их называют базисными или связными) выражают через эту свободную. Имеем

.

Таким образом, .

Это общее решение системы. Присваивая свободной переменной конкретные значения, можно получать частные решения, например,

и т.д.

Ответ: .n

Отметим ещё одно достоинство метода Гаусса. Для систем линейных уравнений 4-го порядка и выше метод Гаусса оказывается эффективнее метода Крамера и матричного метода и приводит к решению гораздо быстрее.

 

Пример 11. Решить систему уравнений

.

Решение.

 

 

 

 

 

Проверку сделайте самостоятельно.

Ответ: .n

 







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 1579. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Закон Гука при растяжении и сжатии   Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...

Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются: • лаконичность...

Этапы и алгоритм решения педагогической задачи Технология решения педагогической задачи, так же как и любая другая педагогическая технология должна соответствовать критериям концептуальности, системности, эффективности и воспроизводимости...

Эндоскопическая диагностика язвенной болезни желудка, гастрита, опухоли Хронический гастрит - понятие клинико-анатомическое, характеризующееся определенными патоморфологическими изменениями слизистой оболочки желудка - неспецифическим воспалительным процессом...

Признаки классификации безопасности Можно выделить следующие признаки классификации безопасности. 1. По признаку масштабности принято различать следующие относительно самостоятельные геополитические уровни и виды безопасности. 1.1. Международная безопасность (глобальная и...

Прием и регистрация больных Пути госпитализации больных в стационар могут быть различны. В цен­тральное приемное отделение больные могут быть доставлены: 1) машиной скорой медицинской помощи в случае возникновения остро­го или обострения хронического заболевания...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия