Векторное произведение.

Векторное произведение ´ двух геометрических векторов и определяется как вектор с тремя характеристическими свойствами:

1) ê ´ ê =ê ê× ê ê ×sin j - это площадь параллелограмма, построенного на векторах и (j - угол между векторами и ); 2) вектор ´ ортогонален к векторам и (и, следовательно, к плоскости, содержащей векторы и ; 3) кратчайший поворот от к выглядит со стороны вектора ´ происходящим против часовой стрелки.

Связь векторного произведения со скалярным: | ´ |² + ( × )² = | |² × | |².

Пример векторного произведения в механике. Пусть к твердому телу, закрепленному шарнирно в начале координат O, приложена сила. - вектор силы,

- вектор из Oв точку приложения силы; вращающий момент силы относительно точки Oесть вектор = ´ , направленный вдоль оси вращения. Его абсолютная величина ê ê равна произведению (величины) силы на «плечо».

Для векторного произведения можно написать формулу, аналогичную (4).

´ = ê ê× _^ ; (11)

здесь вектор _^ получается проектированием вектора на плоскость, перпендикулярную к вектору ,и последующим поворотом этой проекции в указанной плоскости на 90° против часовой стрелки (если смотреть со стороны вектора ).

Если два вектора и коллинеарны, то ´ = 0. другие свойства таковы.

Свойства векторного произведения. 1) ´ = - ´ ; 2) ´ k = k ´ (k - число); 3) ´ ( + ) = ´ + ´ .

Свойства 2) и 3) получаются из формулы (11) и соответствующих свойств векторных проекций. Они означают, что при векторном умножении скобки раскрываются, как при умножении чисел. Например,(2 – 3 ) ´ = 2 ´ – 3 ´ . (Однако сочетательного свойства для ´( ´ )нет.)

Из формулы (11) и определения легко вывести «таблицу» векторного умножения ортов , , правой прямоугольной системы координат (далее рассматриваются правые системы): ´ = ´ = ´ = 0;

´ = , ´ = , ´ = ; ´ =- , ´ =- , ´ =- .

Разлагая векторы и по ортам и используя «таблицу» векторного умножения ортов, получаем выражение для ´ , которое компактно записывается с помощью определителя (после раскрытия его получится вектор).

Правило. Имеет место алгебраическая формула для векторного произведения векторов (x ₁; y ₁; z ₁)и (x ₂; y ₂; z ₂):

(12)

Применения векторного произведения в геометрии.

1) Площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

S = | ´ |. (13)

2) Площадь треугольника A₁A₂A₃: S = 1/ 2 ×| |.

3) Вектор , перпендикулярный к плоскости треугольника A₁A₂A₃: .