Скалярное произведение.

Скалярное (т.е. числовое) произведение двух геометрических векторов

и определяетсякакпроизведение длин этих векторов и косинуса угла между ними:

= | | × | |×cos j, (3)

где | | и | | - длины (модули, абсолютные величины) векторов, а j - угол между векторами. Скалярное произведение можно выразить через (числовую) проекцию Пр вектора на вектор :

= | | × Пр . (4)

В частности, длина вектора связана со скалярным произведением:

= | | ² . (5)

Механическое истолкование скалярного произведения: - это работа, которую производит источник силы при перемещении предмета на вектор .

(Например, источники силы трения производят отрицательную работу и, значит,

приобретают энергию - нагреваются; в этом примере cos j < 0.)

Свойства скалярного произведения: 1) = ; 2) ×(k ) =

= k (k – число); 3) × ( + ) = + × .

Свойства 2) и 3) получаются из формулы (4) и соответствующих свойств проекций. Они означают, что при скалярном умножении векторов скобки раскрываются, как при умножении чисел. Например, (2 - 3 ) × = 2 × – 3 × .

Из определения (3) легко вывести «таблицу» скалярного умножения ортов , , :

× = × = × = 1, × = × = × = × = × = × = 0.

Разлагая векторы и по ортам и используя «таблицу» скалярного умножения ортов, получаем.

Правило. Имеет место алгебраическая формула для скалярного произведения

векторов (x ₁; y ₁; z ₁)и (x ₂; y ₂ ; z ₂):

× = x ₁× x ₂+ y ₁× y ₂ + z ₁× z ₂. (6)

Примененияскалярного произведения в геометрии.

1) Длина вектора (x; y; z):

ï ï = (x ²+ y ² + z ²) ^{1 / 2} (7)

(это - следствие формул (5) и (6)).

2)Расстояние между двумя точками A₁ иA₂:

ï ï =((x ₂- x ₁)²+(y ₂- y ₁)²+(z ₂- z ₁)²)^1/2. (8)

3)Косинус угла между двумя векторами и :

cos j = × / ê ê× ê ê. (9)

4)Если два (ненулевых) вектора и перпендикулярны (ортогональны),то

× = 0. И наоборот. (Слово orthogonal переводится как «прямоугольный»).

Замечание. В задачах, в которых фигурируют только точки и векторы на координатной плоскости O xy, координата z (равная нулю) не пишется. В этой ситуации применяют формулы, аналогичные (6)-(9). Например, расстояние между двумя точками теперь вычисляется по формуле

| A₁A₂ |= ï ï =((x ₂ - x ₁)² + (y ₂- y ₁)²) ^{1/ 2}. (10)