Система линейных неравенств

 

12.1 Понятие системы линейных неравенств. Выпуклые множества.
Крайние точки.

 

Неравенство называется линейным, если содержит переменные только в первой степени, причем отсутствуют и произведения переменных.

Множеством решений неравенства с n неизвестными является одно из двух полупространств, разделенных гиперплоскостью, уравнение которой:

а ₁ х ₁ + а ₂ х ₂ + … + а_nх_n = а

 

Пусть дано неравенство с двумя переменными:

а ₁ х ₁ + а ₂ х ₂ ≤ (≥) а; а ₁, а ₂ ≠ 0 (*)

Геометрическим решением такого неравенства будет одна из полуплоскостей, на которые прямая вида а ₁ х ₁ + а ₂ х ₂ = 0 разделяет плоскость ХОУ в R2.

Если неравенство нестрогое, то точки, лежащие на данной прямой, удовлетворяют неравенству (*). Точки плоскости, лежащие выше (ниже) этой прямой, могут удовлетворять данному неравенству (*). Для этого следует выбрать любую точку плоскости, не лежащую на этой прямой, и подставить координаты этой точки в неравенство (*).

Если неравенство получается верным, то решением такого неравенства будет та часть плоскости, из которой выбиралась точка.

Обычно в качестве контрольной точки удобно брать начало координат, если прямая не проходит через эту точку.

 

Множества, элементами которых являются точки, называются точечными. Точечные множества бывают выпуклые и невыпуклые. Если существует хотя бы одна пара точек множества, таких, что отрезок, соединяющий эти точки, не принадлежит целиком этому множеству, то оно называется невыпуклым.

Множество точек называется выпуклым, если вместе с его любыми двумя точками ему принадлежит и весь отрезок, соединяющий эти точки.

Выпуклые множества обладают важными свойствами, которые используются при геометрической интерпретации решений системы линейных неравенств с двумя переменными.

Пересечение двух выпуклых множеств является также выпуклым множеством.

Частными случаями точечных множеств на плоскости служат выпуклые многоугольники. Выпуклым многоугольником называется выпуклая фигура, ограниченная несколькими отрезками, называемыми сторонами многоугольника. Точки, в которых сходятся концы двух соседних сторон, называются крайними (угловыми) точками (вершинами) многоугольника.

Когда вся фигура лежит по одну сторону от прямой, и прямая имеет с фигурой одну общую точку или отрезок, то такая прямая называется опорой прямой.

Каждая сторона выпуклого многоугольника является опорной прямой.

В пространстве R3 понятие выпуклый многогранник – тело, образованное пересечением плоскостей, грани которого – выпуклые многоугольники.

Вершины этого многогранника – крайние (угловые) точки.

Примерами выпуклых многогранников служат шар, параллелепипед, призма и др.