Смешанное произведение.

Смешанноепроизведение трех геометрических векторов, обозначаемое как

(, , ) - это число ( ´ )× . Вначале вычисляется векторное произведение = ´ , затем вектор умножается скалярно на вектор .

Геометрический смысл смешанного произведения: абсолютная величина смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на векторах , , :

| (, , )| = V. (14)

· Пояснение. Это следует из формул (3),(13), так как | (, , ) | = | × |=

=| |×| |× |cos j | = S × H = V; здесь S - площадьпараллелограммав основании параллелепипеда, j - угол между векторами и ;

| |× | cos j| = H - высота параллелепипеда. ·

Правило. Имеет место следующая формула для смешанного произведения векторов (x ₁; y ₁; z ₁), (x ₂; y ₂; z ₂), (x ₃; y ₃; z ₃ ):

(, , ) = (15)

· Пояснение. Выражение для (, , ) получается, если вектор (12) умножить скалярно на . Правая часть (12) есть сумма из 6 слагаемых. Рассмотрим одно из них: y ₁ × z ₂× . При скалярном умножении на вектор заменяетсяна × = x ₃. Подобное рассуждение, примененное ко всем слагаемым в правой части (12), показывает, что формулу (15) можно получить заменой , , в (12) на x ₃, y ₃, z ₃ . ·

Применения смешанного произведения в геометрии.

1) Объем параллелепипеда - формула (14).

2) Объем треугольной пирамиды A₁A₂A₃A₄:

V = 1/ 6 × | |.

3) Векторы , , образуют базис в трехмерном пространстве, если (, , )¹0.