Уравнение плоскости пространстве.

1-я ситуация. Известны одна точка M₀ (x ₀ ; y ₀ ; z ₀ ) плоскости Pи ненулевой вектор (A; B; C), перпендикулярный к этой плоскости (такой вектор называется нормальным вектором плоскости). для точек M(x; y; z) плоскости векторы и перпендикулярны, и их скалярное произведение равно нулю:

А (x - x ₀) + B (y - y ₀)+ C (z - z ₀ )=0. (11)

Вводя постоянную D = - A x ₀ – B y ₀ – C z ₀, получаем общее уравнение плоскости в пространстве:

A x + B y + C z + D = 0. (12)

Это – линейное уравнение для трех переменных, причем хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

Для точек M (x; y; z), не лежащих на плоскости P, расстояние d до плоскости равно d = | A x + B y + C z + D | / (ср. с формулой (5)).

Замечание. В дальнейшем (в теме 8) используется уравнение плоскости с двумя угловыми коэффициентами. Пусть в уравнении (11) С ¹ 0, тогда уравнение плоскости приобретает вид z-z ₀ =k ₁ × (x-x ₀ ) +k ₂ × (y-y ₀), где k ₁ = - A / C, k ₂ = - B / C.

Коэффициенты k ₁ и k ₂ имеют следующий геометрический смысл: k ₁ (соответственно,

k ₂ ) есть угловой коэффициент прямой, состоящей из точек данной плоскости с постоянным значением y = y ₀ (соответственно, с постоянным значением x = x ₀ ).

Свойства нормального вектора плоскости. (а) Если две плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны (пропорциональны):

₁ ´ ₂ = 0. (б) Если две плоскости перпендикулярны, то их нормальные векторы

перпендикулярны: ₁× ₂ = 0. (в) Еслиa - угол между двумя плоскостями, то

cos a = | ₁× ₂ | / | ₁ | × | ₂|.

2-я ситуация. На плоскости P известны три точки M₀(x ₀; y ₀; z ₀),

M₁(x ₁; y ₁; z ₁), M₂(x ₂ ; y ₂; z ₂), не лежащие на одной прямой. Тогда уравнение

плоскости P записывается через определитель:

=0. (13)

 

· Пояснение. Вектор является нормальным вектором плоскости P (см. применения векторного произведения в геометрии).

Для точек M(x; y; z) векторы и ортогональны, и их скалярное произведение равно нулю: × = = 0. Теперь формула (13) следует из формулы (15)

В частности, если известны три точки M₀(a; 0; 0), M₁(0; b; 0), m₂(0; 0; c) плоскости, принадлежащие координатным осям O x,O y,O z, соответственно, то пишут

так называемое уравнение плоскости в отрезках: x / a + y / b + z / c = 1.