Уравнение прямой на плоскости.

Предположим,чтоизвестна одна точка M₀(x ₀; y ₀ ) на некоторой прямой L на координатной плоскости O xy, и известен ненулевой вектор (A; B), перпендикулярный к прямой (он называется нормальным вектором прямой). Для любой точки M(x; y) прямой Lвекторы и перпендикулярны, и их скалярное произведение × равно нулю:

A ×(x - x ₀) + B ×(y - y ₀ ) = 0. (3)

Отсюда следует так называемое общее уравнение прямой на плоскости:

A x + B y + C = 0. (4)

Это уравнение линейное (т.е. 1-й степени), поэтому прямую называют линией 1-го порядка. Числа A, B – коэффициенты уравнения, причем хотя бы одно из них не равно нулю, а число C обозначает постоянную величину - A x ₀ - B y ₀ в (3). Для точек M(x; y), не лежащих на прямой, расстояние d до прямой равно

d = | A x + B y + C | / (5)

· Пояснение. Пусть M₀ - произвольная точка плоскости, тогда

d= |Пр |=

=| × | | | = | A (x-x₀) + B (y –y ₀ ) | | | = | Ax + By + C | | |. · Различают прямые: (а) вертикальные, (б) невертикальные (горизонтальные или наклонные).

(а) Вертикальные прямые. Если в уравнении (4) B = 0, то уравнение принимает вид x = x ₀ , где x ₀= - C / A есть постоянная величина.

(б) Невертикальные прямые. Если в уравнении (4) B ¹ 0,то уравнение прямой приводится к т. наз. уравнению с угловым коэффициентом

y = k x + b (6)

(k = - A / B, b = - C / B).Числа k и b определяют прямую, поэтому их называют параметрами прямой. Рассматриваемая прямая – график линейной функции. Чтобы изобразить ее, нужно на координатной плоскости отметить две точки, например, (0; b) при x =0 и (1; b + k) при x =1, и соединить их с помощью линейки. Отсюда следует геометрический смысл k: k есть тангенс угла наклона j прямой L(т.е. угла между прямой Lи полуосью O x ₊ ):

k = tg j (7)

(- 90° < j < 90°, - ¥ < tg j < + ¥). Множитель k называется угловым коэффициентом прямой.

Свойства углового коэффициента. 1) Если две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны: k ₁ = k ₂. 2) Если две прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением

k ₂ = - 1 / k ₁. 3) Угол a между двумя прямыми на плоскости находится по формуле tg a = (k ₁ - k ₂) / (1 + k ₁ k ₂ ).

Рассмотрим три способа составления уравнения прямой в зависимости от исходных данных.

1-я ситуация. Известны одна точка M₀(x ₀ ; y ₀) на прямой и угловой коэффициент k прямой L.Тогда уравнение прямой пишется так:

y – y ₀= k × (x – x ₀).

· Пояснение. В формуле (6) параметр k известен, а параметр b не известен. Чтобы исключить его из (6), учтем, что точка M₀ лежит на прямой: y ₀= k x ₀+ b. Вычтем это уравнение из (6). Получим: y - y ₀= k ×(x - x ₀). ·

2-я ситуация. Известны одна точка M₀ (x ₀ ; y ₀ ) на прямой L и ненулевой вектор (l; m),параллельный прямой (такой вектор называется направляющим). В этой ситуации пишут так называемое каноническое уравнение прямой на плоскости:

(8)

· Пояснение. Для точек M (x; y) на прямой L вектор параллелен вектору ,и значит, пропорционален ему: = t × . Множитель (переменная величина) t называется параметром на прямой. Запишем это в координатах: x - x ₀= t × l,

y - y ₀ = t × m. (это – т.наз. параметрические уравнения прямой на плоскости.)Исключая отсюда t, получим (8). Может оказаться, что один из знаменателей в (8) равен нулю, например, l = 0. Запись (x – x ₀)/ 0 =(y - y ₀) / m есть условность(ее нельзя понимать буквально). Чтобы «расшифровать» ее, возвращаемся к параметрическим уравнениям прямой и получаем корректное уравнение данной прямой: x - x ₀ = 0.·

3-я ситуация. Известны две точки M₀(x ₀ ; y ₀) и M₁(x ₁ ; y ₁ ) на прямой L. Тогда уравнение прямой также пишется в каноническом виде, причем роль направляющего вектора (l; m) играет вектор (x ₁– x ₀ ; y ₁ - y ₀):

(9)

В частности, если известны две точки M₀ (a; 0) и M₁(0; b) прямой, принадлежащие координатным осям O x иO y, соответственно, то пишут так называемое уравнение прямой в отрезках: x a + y b = 1.

 

3.Применение: линейное интерполирование функций.

Пусть известно, что график некоторой функции y = f (x) на отрезке [ a; b ] незначительно отличается от отрезка прямой. Заменим график функции на отрезке отрезком прямой, соединяющей точки M₀(a; f (a)) и M₁(b; f (b)). Согласно (9),

уравнение этой прямой есть

Эту формулу называют линейной интерполяцией (или линейным приближением)

данной функции на данном отрезке. На практике используют таблицу значений линейной интерполяции. Для этого отрезок [ a; b ] разбивают на некоторое число n

равныхотрезков. Длина каждого отрезка (b - a) / n обозначается как D x (знак D означает «изменение»). Когда x изменяется на величину D x, данная функция

в линейном приближении изменяется на величину

Таблица линейной интерполяции функции принимает следующий вид.

x 0= a	x 1 = x 0 + D x	x 2 = x 1 + D x	…	x n = b
y 0 = f (a)	y 1 = y 0 + D y	y 2 = y 1 + D y	…	y n = f (b)