Модель максимизации ожидаемого дохода при заданном уровне риска.

В соответствии с классическим подходом модель должна быть записана в следующей форме:

(2.1.1)

(2.1.2)

В данной модели есть четкое бинарное отношение: , есть приемлемый уровень риска, на который готов пойти инвестор.

Однако представленная модель является недостаточно корректной, так как ожидаемая доходность портфеля есть нечеткая величина (2.1).

В связи с этим требуется введение дополнительного принципа принятия решений, уже в условиях нечетких данных [94].

Одним из них является переход к модальным значениям соответствующих нечетких величин. Его применение приводит к следующей модели:

, (2.1.3)

(2.1.4)

где обозначает переход к модальным значениям нечетких величин.

Согласно результатам, представленными в первой главе диссертации,

.

Если нечеткие случайные величины при фиксированном принадлежат классу

, то

. Пусть , т.е. . Тогда, принимая во внимание доказанную в первой главе лемму 1.4.2, мы получаем при следующую модель, эквивалентную (2.1.1), (2.1.2),

, (2.1.5)

(2.1.6)

Полученная задача (2.1.5)-(2.1.6) есть задача квадратичного программирования. Она может быть решена стандартными методами [8].

 

2.2.2. Модель максимизации возможности (необходимости) достижения нечеткого уровня ожидаемой доходности при фиксированном уровне риска.

Следующий подход к решению задачи связан с ее рассмотрением в рамках модели нечеткого целевого программирования [59]. Его применение приводит к следующей модели:

(2.2.1)

(2.2.2)

где , есть четкое бинарное отношение: , есть нечеткий уровень притязаний критерия, приемлемый для инвестора.

Рассмотрим сначала случай , в модели критерия задачи. Тогда модель (2.2.1)-(2.2.2) имеет эквивалентную, которая может быть записана в форме

(2.2.3)

(2.2.4)

Прежде чем доказать теорему, позволяющую построить детерминированный эквивалент модели (2.2.3)-(2.2.4), приведем необходимую для ее доказательства лемму [59].

Лемма 2.2.1. Пусть где -минисвязные нечеткие величины, определенные на возможностном пространстве , . Тогда: .

 

Теперь мы готовы сформулировать и доказать следующую теорему.

Теорема 2.2.1. Пусть в задаче (2.2.3)-(2.2.4) возможностные параметры , являются минисвязанными, тогда задача (2.2.3)-(2.2.4) имеет эквивалентный детерминированный аналог следующего вида:

, (2.2.5)

(2.2.6)

где -дополнительная переменная.

Доказательство.

На основании определения меры возможности преобразуем целевую функцию следующим образом:

.

С учетом полученной формулы и леммы 2.2.1 исходная задача эквивалентна следующей задаче математического программирования.

.

Путем введения дополнительной переменной [59] модель критерия сводится к эквивалентной модели - задаче математического программирования.

С учетом модели ограничений (2.2.4) мы получаем утверждение теоремы.

Теорема доказана.

Полученная модель допускает сведение к сепарабельной задаче при некоторых дополнительных условиях.

Действительно. Преобразуем ограничение .

Для этого воспользуемся следующим равенством:

.

Введем дополнительные переменные: .

Тогда наше ограничение примет следующий вид: .

Это есть сепарабельное ограничение.

В результате наша задача (2.2.5)-(2.2.6) сводится к задаче математического программирования следующего вида.

, (2.2.7)

(2.2.8)

Таким образом, мы получили детерминированный аналог для задачи максимизации возможности достижения нечеткого уровня ожидаемой доходности при фиксированном уровне риска.

Далее, преобразуя выражение для дисперсии по уже известной формуле (теорема 1.4.1), а также принимая , получаем:

Если предположить, что параметры возможностного распределения являются независимыми случайными величинами, то

.

В результате наша задача (2.2.7)-(2.2.8) сводится к следующей сепарабельной задаче.

, (2.2.9)

(2.2.10)

Уточним полученную модель (2.2.9)-(2.2.10) для некоторых классов распределений.

Пусть ,

. Тогда модель (2.2.9)-(2.2.10) может быть преобразована к следующей эквивалентной модели:

, (2.2.11)

(2.2.12)

При ее построении мы учитываем вид распределений и то, что получающееся при этом неравенство

эквивалентно двум неравенствам

а неравенство

эквивалентно следующим неравенствам

Рассмотрим модель (2.2.1)-(2.2.2) в случае меры необходимости, . Получаем модель следующего вида.

(2.2.13)

(2.2.14)

Докажем соответствующую теорему.

Теорема 2.2.2. Пусть в задаче (2.2.13)-(2.2.14) возможностные параметры , являются минисвязанными, тогда задача (2.2.13)-(2.2.14) имеет эквивалентный детерминированный аналог следующего вида:

, (2.2.15)

(2.2.16)

Доказательство.

Имеем.

.

Следовательно модель (2.2.13) эквивалентна

.

Если распределения и непрерывны [91], то

и эквивалентная модель критерия имеет вид

.

Таким образом, модель (2.2.13)-(2.2.14) имеет следующий эквивалентный детерминированный аналог.

,

Теорема доказана.

Далее, преобразуя выражение для дисперсии по уже известной формуле (теорема 1.4.1), а также принимая , получаем:

Если предположить, что параметры возможностного распределения являются независимыми случайными величинами, то

.

Тогда наша задача будет иметь следующий вид.

, (2.2.17)

(2.2.18)