Взвешенная сумма нечетких случайных величин.

В контексте рассматриваемой проблемы портфельного анализа необходимо иметь соответствующие результаты для определения дисперсии и ожидаемого значение взвешенной суммы нечетких случайных величин.

Итак, пусть имеем несимметричных триангулярных нечетких случайных величин, - некоторые веса, такие, что . Будем рассматривать взвешенную сумму нечетких случайных величин:

.

Найдем математическое ожидание и дисперсию для данной взвешенной суммы.

Лемма 1.4.1. Пусть

, ,

, . Тогда математическое ожидание взвешенной суммы нечетких случайных величин исчисляется по формуле:

, (1.4.1)

где имеет распределение вида (1.3.2).

Доказательство.

Рассчитаем математическое ожидание. На основании леммы 1.1.2. и определения 1.1.18:

где имеет распределение вида (1.3.2).

Лемма доказана.

Лемма 1.4.2. Дисперсия взвешенной суммы нечетких случайных величин находится по формуле:

(1.4.2)

Доказательство.

Найдем , используя свойства (3),(4) из теоремы 1.2.1.

Итак:

На основании теоремы 1.2.1 можно преобразовать полученное выражение следующим образом:

Проведем обратные преобразования, осуществим группировку слагаемых, воспользуемся свойством (2) из теоремы 1.2.1. Имеем:

Лемма доказана.

Теорема 1.4.1. Пусть

, ,

, . Тогда дисперсия взвешенной суммы нечетких случайных величин вычисляется по формуле:

(1.3.1)

Доказательство.

Согласно лемме 1.4.2 дисперсия взвешенной суммы равна:

.

Обобщим лемму 1.3.1 и лемму 1.3.2 на случай нечетких случайных величин. Следовательно, имеем:

Проведем соответствующие подстановки.

Теорема доказана.