Модель максимизации с заданной возможностью (необходимостью) ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска.

, (2.3.1)

(2.3.2)

где , есть четкое бинарное отношение: , k есть дополнительная уровневая переменная.

Рассмотрим модель (2.3.1)-(2.3.2) в случае , . Получаем.

, (2.3.3)

(2.3.4)

В данной модели -уровень возможности.

 

Теорема 2.3.1. Пусть характеризуются квазивогнутыми, полунепрерывными сверху распределениями с ограниченными носителями. Тогда задача (2.3.3)-(2.3.4) имеет эквивалентный детерминированный аналог:

, (2.3.5)

(2.3.6)

Доказательство.

Преобразуем первое ограничение системы (2.3.4). Имеем

,

на основании формулы представления [94] имеем

На основании обобщенной теоремы Вейерштрасса , на которых достигается супремумы (sup).

Нетрудно видеть, что получаемое неравенство

эквивалентно следующей системе неравенств:

Данные неравенства описывают -уровневые множества соответствующих нечетких величин. Эквивалентным образом эта система может быть записана в виде

где , , есть правые и левые границы -уровневого множества соответствующих нечетких величин.

Следствием последней системы неравенств является следующее неравенство:

Оно может быть записано в виде двух неравенств:

В результате эквивалентная модель критерия принимает вид:

,

Нетрудно видеть, что при полученная модель критерия допускает эквивалентное представление:

.

Таким образом, задача (2.3.3)-(2.3.4) имеет следующий эквивалентный детерминированный аналог:

,

Теорема доказана.

 

Преобразуя выражение для дисперсии согласно известной формуле (теорема 1.4.1), а также принимая , получаем:

Если предположить, что параметры возможностного распределения являются независимыми случайными величинами, то

.

В результате наша задача сводится к следующей задаче математического программирования.

, (2.3.7)

(2.3.8)

Уточним модель (2.3.7)-(2.3.8) для некоторых классов распределений.

Пусть , тогда модель (2.3.7)-(2.3.8) будет преобразована следующим образом:

, (2.3.9)

(2.3.10)

Рассмотрим модель (2.3.1)-(2.3.2) в случае . Имеем.

, (2.3.11)

(2.3.12)

В данной модели есть уровень необходимости.

Теорема 2.3.1. Пусть характеризуются квазивогнутыми, полунепрерывными сверху распределениями с ограниченными носителями. Тогда задача (2.3.11)-(2.3.12) имеет эквивалентный детерминированный аналог:

, (2.3.13)

(2.3.14)

Доказательство.

Построим эквивалентный детерминированный аналог.

Действительно

.

Следовательно

.

Если является монотонной по нечетким параметрам и , тогда мы получаем следующее эквивалентное неравенство

.

Таким образом, имеем в конечном итоге следующую эквивалентную модель

где есть левая граница -уровневого множества нечеткой случайной величины, представляющей доходность инвестиционного портфеля.

Эквивалентная модель этого критерия может быть представлена в форме, не требующей использования уровневой переменной :

.

Окончательно имеем следующий эквивалентный детерминированный аналог

Теорема доказана.

 

Преобразуя выражение для дисперсии согласно известной формуле (теорема 1.4.1), а также принимая , получаем:

Если предположить, что параметры возможностного распределения являются независимыми случайными величинами, то

.

В результате наша задача сводится к следующей задаче математического программирования.

, (2.3.15)

(2.3.16)

Уточним модель (2.3.15)-(2.3.16) для некоторых классов распределений.

Пусть , тогда модель (2.3.15)-(2.3.16) будет преобразована следующим образом:

, (2.3.17)

(2.3.18)