Модель максимизации с заданной возможностью (необходимостью) ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска.
, (2.3.1) (2.3.2) где , есть четкое бинарное отношение: , k есть дополнительная уровневая переменная. Рассмотрим модель (2.3.1)-(2.3.2) в случае , . Получаем. , (2.3.3) (2.3.4) В данной модели -уровень возможности.
Теорема 2.3.1. Пусть характеризуются квазивогнутыми, полунепрерывными сверху распределениями с ограниченными носителями. Тогда задача (2.3.3)-(2.3.4) имеет эквивалентный детерминированный аналог: , (2.3.5) (2.3.6) Доказательство. Преобразуем первое ограничение системы (2.3.4). Имеем , на основании формулы представления [94] имеем На основании обобщенной теоремы Вейерштрасса , на которых достигается супремумы (sup). Нетрудно видеть, что получаемое неравенство эквивалентно следующей системе неравенств: Данные неравенства описывают -уровневые множества соответствующих нечетких величин. Эквивалентным образом эта система может быть записана в виде где , , есть правые и левые границы -уровневого множества соответствующих нечетких величин. Следствием последней системы неравенств является следующее неравенство: Оно может быть записано в виде двух неравенств: В результате эквивалентная модель критерия принимает вид: , Нетрудно видеть, что при полученная модель критерия допускает эквивалентное представление: . Таким образом, задача (2.3.3)-(2.3.4) имеет следующий эквивалентный детерминированный аналог: , Теорема доказана.
Преобразуя выражение для дисперсии согласно известной формуле (теорема 1.4.1), а также принимая , получаем: Если предположить, что параметры возможностного распределения являются независимыми случайными величинами, то . В результате наша задача сводится к следующей задаче математического программирования. , (2.3.7) (2.3.8) Уточним модель (2.3.7)-(2.3.8) для некоторых классов распределений. Пусть , тогда модель (2.3.7)-(2.3.8) будет преобразована следующим образом: , (2.3.9) (2.3.10) Рассмотрим модель (2.3.1)-(2.3.2) в случае . Имеем. , (2.3.11) (2.3.12) В данной модели есть уровень необходимости. Теорема 2.3.1. Пусть характеризуются квазивогнутыми, полунепрерывными сверху распределениями с ограниченными носителями. Тогда задача (2.3.11)-(2.3.12) имеет эквивалентный детерминированный аналог: , (2.3.13) (2.3.14) Доказательство. Построим эквивалентный детерминированный аналог. Действительно . Следовательно . Если является монотонной по нечетким параметрам и , тогда мы получаем следующее эквивалентное неравенство . Таким образом, имеем в конечном итоге следующую эквивалентную модель где есть левая граница -уровневого множества нечеткой случайной величины, представляющей доходность инвестиционного портфеля. Эквивалентная модель этого критерия может быть представлена в форме, не требующей использования уровневой переменной : . Окончательно имеем следующий эквивалентный детерминированный аналог Теорема доказана.
Преобразуя выражение для дисперсии согласно известной формуле (теорема 1.4.1), а также принимая , получаем: Если предположить, что параметры возможностного распределения являются независимыми случайными величинами, то . В результате наша задача сводится к следующей задаче математического программирования. , (2.3.15) (2.3.16) Уточним модель (2.3.15)-(2.3.16) для некоторых классов распределений. Пусть , тогда модель (2.3.15)-(2.3.16) будет преобразована следующим образом: , (2.3.17) (2.3.18)
|