Обобщение двумерного портфеля на случай нечетких случайных данных.

Обобщим двумерный портфель на случай нечетких случайных данных.

Доли капитала, вкладываемые в первый и второй активы обозначим , соответственно.

Будем рассматривать случай, когда доходности активов представляются нечеткими случайными величинами. При этом доходность портфеля будет также являться нечеткой случайной величиной:

,

а ожидаемая доходность портфеля будет нечеткой величиной:

,

где .

Рассматриваем случай, когда , где , , - ожидаемые значения случайных величин , , .

Не нарушая общности, можно считать, что , .

Исследуем множество инвестиционных возможностей , где есть риск портфеля:

.

В соответствии с результатами, полученными в первой главе:

Ввиду того, что параметр есть нечеткая величина, множество инвестиционных возможностей можно представить системой:

(2.5.1)

Здесь есть параметр со степенью возможности , представляющий .

Основываясь на [94] можно показать, что система (2.5.1) эквивалента следующей системе:

где , , есть границы –уровневых множеств соответствующих нечетких величин.

Из соотношений (3.2.1)–(3.2.4) следует, что риск портфеля в конечном итоге определен на множестве значений доходности портфеля (замкнутом интервале) при каждом конечном фиксированном . Таким образом, и удовлетворяет (3.2.1.), (3.2.2).

В результате мы можем констатировать, что множество инвестиционных возможностей есть «множественнозначная» кривая. При обозначениях , в соответствии с [3], . Ясно, что эта кривая может быть построена с использованием «граничных» кривых, которые определяются посредством решения систем вида:

(3.3)

Решая систему (3.3) относительно переменных , в первом и во втором предельных случаях, после подстановки решений в (3.2.3), получаем две «граничные» параболы.

.

Оптимальные портфели могут быть получены путем решения уравнения .

Имеем:

 

,

,

 

.

 

В пределе при можно считать, что . И мы приходим, фактически, к классической модели портфельного анализа по Марковицу [85] с параметрами: – вектор ожидаемых доходностей активов; – ковариационная матрица, .

На рисунке, приводимом ниже (рис.2.), представлено множество инвестиционных возможностей.

Рис.2. Множество инвестиционных возможностей