Задача 8.

Исследовать однородный страховой портфель объемом 5000 со страховой суммой: S=3000у.е., выплачиваемой полностью при наступлении страхового случая, вероятность которого: 0,002

Найти рисковую премию, нетто-премию, если надбавка должна обеспечить надежность не ниже: (71) %. Брутто-премию, если доля нагрузки в тарифе: (13) %. Какой резерв нужен страховщику, чтобы повысить надежность на 10 %? Оценить возможность перестрахования, если относительная надбавка у перестраховщика на треть больше, чем у страховщика, а Страхнадзор требует повысить надежность до (99) %. (Считать, что НП перестрахования оплачивается из СНП цедента.)

 

Так как p мало, используем для расчетов вероятностей формулу распределения Пуассона: P_n(k)= ,

где λ=n∙p =5000∙0,002=10 - параметр распределения Пуассона;

P_n(k) - вероятность того, что в портфеле из n договоров число страховых случаев будет равно k

k	Вероятность Pn(k)	Накопленная вер-ть ΣPn(k)
	0,000045400	0,000045400
	0,000453999	0,000499399
	0,002269996	0,002769396
	0,007566655	0,010336051
	0,018916637	0,029252688
	0,037833275	0,067085963
	0,063055458	0,130141421
	0,090079226	0,220220647
	0,112599032	0,332819679
	0,125110036	0,457929714
	0,125110036	0,583039750
	0,113736396	0,696776146
	0,094780330	0,791556476
	0,072907946	0,864464423
	0,052077104	0,916541527
	0,034718070	0,951259597
	0,021698794	0,972958390
	0,012763996	0,985722386
	0,007091109	0,992813495
	0,003732163	0,996545658
	0,001866081	0,998411739
	0,000888610	0,999300349

Таким образом, можно утверждать, что с практической достоверностью > 0,999 в портфеле произойдет не более 21 страхового случая.

а) Собранной с портфеля суммарной рисковой премии СРП= n∙p∙S =5000∙0,002∙3000=30000 у.е. будет достаточно для выплаты по 10 страховым случаям.Это обеспечивает вероятность выживания (см. таблицу) 0,583039750< 1-e =0,61, то есть надежность ниже заданной. Нужно рассчитать рисковую надбавку, чтобы иметь возможность покрыть не менее 12 страховых случаев, чтобы обеспечить рисковой надбавкой, заданную в условии надежность 71%.

Для этого рисковая надбавка должна быть:

,

т.е. рисковая надбавка должна составлять 20% от рисковой премии.

Таким образом, получаем премии на один договор:

Рисковая премия: РП= p∙S =0,002∙3000=60 у.е;

Нетто-премия: НП=РП∙(1+θ)=60∙1,2=72 у.е.;

Брутто-премия:

у.е.

Итак, мы получили, что собранная со всего портфеля рисковая премия покрывает только 10 страховых случая, но это намного меньше заданной надежности в 71% (только 61% надежности). За счет рисковой надбавки мы собираем со всего портфеля сумму для покрытия 12 страховых случаев.

б) Если иметь резерв U в размере одной страховой суммы S=3000 у.е. для покрытия 13-го страхового случая, то надежность будет равна 86,4%, что явно больше основной надежности в 71% и даже превышает требуемую по условию надежность 81% (повышение надежности на 10%).

в)

Предположим, что страховая компания приняла решение удержать случаи до 13 включительно (обеспечивает выживание >86,4%), а на перестрахование передает 14 случай, чтобы обеспечить надежность > 91%.

Если будет 14 страховых случаев, перестраховщик оплачивает один из них, выплачивает одну страховую сумму S = 3000 у.е.

РП_Re= M(Y _Re ) = 3000∙ 0,315686= 947,0567 у.е.

По условию рисковая надбавка перестраховщика:

Следовательно, его нетто- и брутто-премии составят: