Собственные незатухающие колебания консервативной системы

Основной закон динамики для движения маятника, выведенного из положения равновесия и предоставленного самому себе, имеет вид

(1)

где J – момент инерции маятника относительно оси подвеса; e – угловое ускорение маятника; – сумма моментов сил, действующих на маятник, относительно оси подвеса.

Поскольку масс стержня значительно меньше массы груза, а его длина значительно больше размеров груза, то момент инерции маятника относительно оси подвеса можно считать равным

(2)

Угловое ускорение есть вторая производная от угла по времени

. (3)

Если пренебречь силами сопротивления движению, то на маятник будут действовать (см. рис. 1) два момента консервативных сил – силы тяжести и силы упругости . Следовательно сумма моментов сил, действующих на маятник, относительно оси подвеса.

(4)

где – плечо силы тяжести; – изменение длины пружин (растяжение одной и сжатие другой пружины); – плечо силы упругости.

С учетом того, что при малых углах отклонения sina» a и cosa» 1, выражение (4) можно переписать в виде

, (5)

то есть при малых углах отклонения маятника от положения равновесия на нее действует восстанавливающий момент, пропорциональный углу отклонения a.

Уравнение движения (1) маятника с учетом выражений (2), (3) и (5) примет вид дифференциального уравнения второго порядка

. (6)

Уравнение (6) приводится к стандартному виду линейного однородного дифференциального уравнения гармонических колебаний

или (7)

с циклической частотой

(8)

и периодом колебаний

. (9)

Циклическая частота и период таких колебаний зависят от параметров, определяющих жесткость и инертность колеблющейся системы и не зависят от начальных условий. Они являются важнейшими характеристиками колебательной системы.

Общим решением дифференциального уравнения (7) является кинематическое уравнение свободных незатухающих колебаний (или закон колебаний) в виде зависимости угла поворота от времени

, (10)

где a₀ – амплитуда колебаний, j₀ – начальная фаза колебаний, определяемые из начальных условий и не зависящие от параметров системы. Колебания описываются функцией cos, то есть являются гармоническими.