Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Собственные незатухающие колебания консервативной системы




Доверь свою работу кандидату наук!
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Основной закон динамики для движения маятника, выведенного из положения равновесия и предоставленного самому себе, имеет вид

(1)

где J – момент инерции маятника относительно оси подвеса; e – угловое ускорение маятника; – сумма моментов сил, действующих на маятник, относительно оси подвеса.

Поскольку масс стержня значительно меньше массы груза, а его длина значительно больше размеров груза, то момент инерции маятника относительно оси подвеса можно считать равным

(2)

Угловое ускорение есть вторая производная от угла по времени

. (3)

Если пренебречь силами сопротивления движению, то на маятник будут действовать (см. рис. 1) два момента консервативных сил – силы тяжести и силы упругости . Следовательно сумма моментов сил, действующих на маятник, относительно оси подвеса.

(4)

где – плечо силы тяжести; – изменение длины пружин (растяжение одной и сжатие другой пружины); – плечо силы упругости.

С учетом того, что при малых углах отклонения sina » a и cosa » 1, выражение (4) можно переписать в виде

, (5)

то есть при малых углах отклонения маятника от положения равновесия на нее действует восстанавливающий момент, пропорциональный углу отклонения a.

Уравнение движения (1) маятника с учетом выражений (2), (3) и (5) примет вид дифференциального уравнения второго порядка

. (6)

Уравнение (6) приводится к стандартному виду линейного однородного дифференциального уравнения гармонических колебаний

или (7)

с циклической частотой

(8)

и периодом колебаний

. (9)

Циклическая частота и период таких колебаний зависят от параметров, определяющих жесткость и инертность колеблющейся системы и не зависят от начальных условий. Они являются важнейшими характеристиками колебательной системы.

Общим решением дифференциального уравнения (7) является кинематическое уравнение свободных незатухающих колебаний (или закон колебаний) в виде зависимости угла поворота от времени

, (10)

где a0 амплитуда колебаний, j0начальная фаза колебаний, определяемые из начальных условий и не зависящие от параметров системы. Колебания описываются функцией cos, то есть являются гармоническими.







Дата добавления: 2015-09-04; просмотров: 365. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.016 сек.) русская версия | украинская версия