Линейные характеристики

Звуковое давление. Положим, что давление среды в отсутствие звуковых колебаний равно , это давление называют статическим. При прохождении зву­ковой волны давление в каждой точке среды будет непрерывно изменяться: в моменты сгущения частиц оно больше статического, а в моменты разрежения – меньше. Разность между мгновенным давлением и статическим в той же точке среды, т. е. перемен­ная составляющая давления (часто звуковое давление называют избыточным давлением среды, такое название ассоциируется с положительным прираще­нием давления), называется звуковым давлением .

Звуковое давление – величина знакопеременная. Давление – сила, действующая на единицу площа­ди, т. е. . Поэтому за единицу давления в систе­ме СИ принимают ньютон на квадратный метр (паскаль) . В системах связи и вещания имеют дело с звуковыми давлениями, по амплитуде, не превышающими 100 Па, т. е., по крайней мере, в 1000 раз меньше, чем нормаль­ное атмосферное давление.

Скорость колебаний. Если давления неодинаковы в соседних точках среды, то ее частицы стремятся сместиться в сторону минимального давления. При знакопеременной разности давлений возникает колебательное движение частиц среды около своего статического положения. Скорость колебаний этих частиц , где – смещение частиц. Скорость колебаний обычно измеряют в метрах или сантиметрах в се­кунду. Не следует путать эту скорость со скоростью звука. Скорость звука – постоянная величина для данной среды и метеорологических условий, а скорость колебаний – переменная, причем если частица среды
перемещается по направлению распространения волны, то скорость считают положительной, а при обратном перемещении частицы – отрицатель­ной.

 

Рисунок 1.2 – Вывод уравнения движения

 

Определим связь между звуковым давлением и скоростью колебаний. Возьмем эле­ментарный объем, заключенный между фронтами волн, находящимися на расстоянии друг от друга, с боковыми поверхностями, расположенными вдоль звуковых лучей (рис. 1.2). Как видно из рисунка, среда в этом объеме находится под действием разности давлений и , следовательно, испытываемая ею сила , где – площадь, выделенная на поверхности фронта волны. С другой стороны, по второму закону Ньютона сила инерции , где – масса среды, заключенной в этом объеме; – средняя плотность среды. Так как в вещании и связи имеют дело с изменением плот­ности среды не более чем на 0,1%, в дальнейшем индекс у опус­каем. Приравнивая обе силы, получаем . Так как и зависят как от координат, так и от времени, то, переходя к производным, имеем

 

. (1.5)

 

Это уравнение называется уравнением движения среды.

Деформация идеальной (невязкой) газообразной среды, появляющаяся при распространении в ней звуковой волны, является адиабатической, так как звуковые процессы происходят быстро, без теплообмена. Поэтому эти процессы подчиняются закону Бойля-Мариотта с поправкой Пуассона.

Рисунок 1.3 – Вывод уравнения непрерывности

 

, где – показатель адиабаты для воздуха . Выделяем элементарный объём (рис. 1.3) как и в предыдущем случаи. В статистическом состоянии в нем находится определенное количество частиц среды. При звуковых колебаниях занимаемый ими объём непрерывно изменяется. Положим, что в некоторый момент частицы среды слева будут смещены на величину , а справа – на величину , тогда, при условии непрерывности среды этот объем Разделим обе части выражения на и в правой части заменим на .

При пренебрежении членами второго порядка малости получим . Заметим, что последний член в этом выражении обусловлен рас­хождением (дивергенцией) франта волны.

При звуковых колебаниях полное давление газообразной среды , где – статическое давление; – звуковое давление. Следовательно, . Подставив и в уравнение за ­ кона Пуассона, получим . Как указывалось ранее , поэтому или Переходя к производным, находим

 

. (1.6)

 

Это уравнение называют уравнением состояния среды. Если это уравнение продифференцировать дважды по и переставить поря­док дифференцирования, то получим . Подставляя в него производную из уравнения движения (1.5), получим уравнение для звукового давления . Заменяя в нем

 

, (1.7)

получим

 

. (1.8)

 

Это уравнение называют волновым уравнением Вебстера.

Общее волновое уравнение имеет вид

 

. (1.9)

 

Если в первую составляющую решения вместо подставить , то для неизменности аргумента сле­дует вместо подставить . Следователь­но, первая составляющая представляет собой волну, распространяющуюся в сторону положительных значе­ний , вторая – в обратном направлении. Из тех же данных следует, что – скорость распространения волны, так как . Таким образом, скорость зву­ка , т. е. определяется статическим давле­нием среды и ее плотностью [2].

Акустическое сопротивление. Разность давлений является причиной движения частиц среды, а разность потенциалов – причиной движения электри­ческих зарядов. Скорость колебаний частиц среды ана­логична скорости движения зарядов – силе тока. Ана­логично электрическому сопротивлению введено поня­тие волнового акустического сопротивления. Удельным волновым акустическим сопротивлением называют от­ношение звукового давления к скорости колебаний. Удельным оно называется потому, что представляет со­бой сопротивление для единицы площади фронта вол­ны. Для краткости его часто называют акустическим сопротивлением

 

. (1.10)

 

Акустическое сопротивление определяется прежде всего свойствами среды. В ряде случаев оно зависит от частоты колебаний и от формы фронта волны. В общем виде оно комплексное:

 

, (1.11)

 

где и – активная и реактивная составляющие акустического сопротивления. Наличие реактивной со­ставляющей свидетельствует о том, что между звуко­вым давлением и скоростью колебаний есть сдвиг фаз. Этот сдвиг определяется из соотношения

 

. (1.12)