Простейшие случаи криволинейной корреляции
Если график регрессии yx = f (х) или ху == ср (у) изображается кривой линией, то корреляцию называют криволинейной. Например, функции регрессии К на X могут иметь вид: ух = аха + Ьх + с (параболическая корреляция второго порядка); ух=-ах* + Ьхг-\-сх-+-й (параболическая корреляция третьего порядка). Для определения вида функции регрессии строят точки (х; ух) и по их расположению делают заключение о примерном виде функции регрессии; при окончательном решении принимают во внимание особенности, вытекающие из сущности решаемой задачи. Теория криволинейной корреляции решает те же за-, дачи, что и теория линейной корреляции (установление формы и тесноты корреляционной связи). Неизвестные параметры уравнения регрессии ищут методом наименьших квадратов. Для оценки тесноты криволинейной корреляции служат выборочные корреляционные отношения (см. § 11). Чтобы выяснить суть дела, ограничимся параболической корреляцией второго порядка, предположив, что данные п наблюдений (выборки) позволяют считать, что имеет место именно такая корреляция. В этом случае выборочное уравнение регрессии К на X имеет вид ух = Ах* + Вх + С, (*) где А, В, С —неизвестные параметры. Пользуясь методом наименьших квадратов, получают систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров (вывод опущен, поскольку он не содержит ничего нового сравнительно с § 4): (2 л**4) А + (2 пхХя) в + (2 пхх*) С = 2 п^хх*\ } (2л^3М+(2п**а)я+(2л^)с=2л*£**; \ (**) (2 пх*3) А + (2 п^х) в + пС = 2 пхУ*• J Найденные из этой системы параметры А, В, С подставляют в (*); в итоге получают искомое уравнение регрессии. Пример. Найти выборочное уравнение регрессии У на X вида уж= Лдс2 + Вх + С по данным корреляционной табл. 19. Таблица 19
74,98 /l-f67,48 В + 60,89 С = 413,93, 1 67,48 Л+60,89 В+ 55,10 С = 373,30, \ 60,89 Л +55,10 В+ 50 С = 337,59. J Решив эту систему, найдем: Л = 1,94, В = 2,98, С =1,10. Напишем искомое уравнение регрессии: Ух = 1,94дс2 + 2,98х+1,10. Легко убедиться, что условные средние, вычисленные по этому уравнению, незначительно отличаются от условных средних корреляционной таблицы. Например, при xx=l найдем: по таблице У\ = 6; по уравнению 1,94+2,98+1,10=6,02. Таким образом, найденное уравнение хорошо согласуется с данными наблюдений (выборки).
|
