Общая средняях= (*Гр i + *гр а)/2 = jc + l(Ci -f-C2)/2] —[(ex —Р)/2], факторная сумма 5факт “ (*гр 1 *)2 (*гр 2 *)а. Подставив величины, заключенные в скобках, после элементарных преобразований получим S^ht = ЦСг-С2)У 2] + (Cj -Ct) (а-р) + [(«- Р)*/2]. Мы видим, что 5факх определяется главным образом, первым слагаемым (поскольку случайные ошибки измерений малы) и, следовательно, действительно отражает влияние фактора С. Остаточная сумма 5ост = (-*11 — -^гр х)2 + (-*21 — -^гр х)2 + (*И — -^гр г)2 (*22 *гр а)2* Подставив величины, заключенные в скобках, получим Socr = I (а, - а)* + (а, - а)2] + HPi - Р)2 + (Р* - Р)2]. Мы видим, что S0(;T определяется случайными ошибками измерений и, следовательно, действительно отражает влияние случайных причин. Замечание. То, что S0CT порождается случайными причинами, следует также из равенства (см. § 3, следствие) ^ОСТ = ^общ 5факх. Действительно, S06iu является результатом воздействия фактора и случайных причин; вычитая S,j,aKT, мы исключаем влияние фактора. Следовательно, «оставшаяся часть» отражает влияние случайных причин. Связь между общей, факторной и остаточной суммами Покажем, что ^обш = 1-*факт Ч- $ост Для упрощения вывода ограничимся двумя уровнями (р = 2) и двумя испытаниями на каждом уровне (^ = 2). Результаты испытаний представим в виде табл. 31. Таблица 31
Тогда ^общ ~ (*11 *)* Ч* (*21 *)2 Ч~ (*J2 *)* Ч- (*22 *)2, Вычтем и прибавим к каждому наблюдаемому значению на первом уровне групповую среднюю хтр1, а на втором— хгр2. Выполнив возведение в квадрат и учитывая, что сумма всех удвоенных произведений равна нулю (рекомендуем читателю убедиться в этом самостоятельно), получим ^общ = 2 [(Хгр! ■— х¥ Ч- (*ГР2~*)Ч Ч- [(*ц — -^р i)a Ч- Ч~ (<^2i *rpi)2 + (*ig *грг)2 Ч" (*22 *грг)8] = ^факг Ч"; ^осг"; Следствие. Из полученного, равенства вытекает важное следствие: С с с *^ост общ *-^фактв Отсюда видно, что нет надобности непосредственно вычислять остаточную сумму: достаточно найти общую и факторную суммы, а затем их разность.
|
