Общая средняя

х= (*_Гр i + *гр а)/2 = jc + l(Ci -f-C₂)/2] —[(ex —Р)/2], факторная сумма

5факт “ (*гр 1 *)² (*гр 2 *)^а.

Подставив величины, заключенные в скобках, после элементарных преобразований получим

S^ht = ЦСг-С₂)У 2] + (Cj -C_t) (а-р) + [(«- Р)*/2].

Мы видим, что 5ф_акх определяется главным образом, первым слагаемым (поскольку случайные ошибки измерений малы) и, следо­вательно, действительно отражает влияние фактора С.

Остаточная сумма

5ост = (-*11 — -^гр х)² + (-*21 — -^гр х)² + (*И — -^гр г)² (*22 *гр а)²* Подставив величины, заключенные в скобках, получим

Socr = I (а, - а)* + (а, - а)²] + HPi - Р)² + (Р* - Р)²].

Мы видим, что S_0(;T определяется случайными ошибками измере­ний и, следовательно, действительно отражает влияние случайных причин.

Замечание. То, что S_0CT порождается случайными причинами, следует также из равенства (см. § 3, следствие)

^ОСТ ⁼ ^общ 5ф_акх.

Действительно, S₀6iu является результатом воздействия фактора и случайных причин; вычитая S,j,_aKT, мы исключаем влияние фактора. Следовательно, «оставшаяся часть» отражает влияние случайных причин.

Связь между общей, факторной и остаточной суммами

Покажем, что

^обш ^{= 1}-*факт Ч^- $ост

Для упрощения вывода ограничимся двумя уровнями (р = 2) и двумя испытаниями на каждом уровне (^ = 2). Результаты испытаний представим в виде табл. 31.

Таблица 31

Номер испытания	Уровни фактора
i	Ft	Г,
	*11	•*12
	■*21	■*22
*гр ]	*Гр 1	*гр 2

Тогда

^общ ~ (*11 *)* Ч* (*21 *)² Ч~ (*J2 *)* Ч^- (*22 *)^2, Вычтем и прибавим к каждому наблюдаемому значению на первом уровне групповую среднюю х_тр1, а на вто­ром— х_гр2. Выполнив возведение в квадрат и учитывая, что сумма всех удвоенных произведений равна нулю (рекомендуем читателю убедиться в этом самостоятельно), получим

^общ = 2 [(Хгр! ■— х¥ Ч- (*_ГР2~*)Ч Ч- [(*ц — -^р i)^a Ч- Ч~ (<^2i *rpi)² + (*ig *грг)² Ч" (*22 *грг)⁸] ⁼

^факг Ч"; ^осг";

Следствие. Из полученного, равенства вытекает важное следствие:

С с с

*^ост общ *-^факт^в

Отсюда видно, что нет надобности непосредственно вы­числять остаточную сумму: достаточно найти общую и факторную суммы, а затем их разность.