В. Неодинаковое число испытаний на различных уровнях
Выше число испытаний на различных уровнях предполагалось одинаковым. Пусть число испытаний на различных уровнях, вообще говоря, различно, а именно: произведено qx испытаний на уровне Flt q2 испытаний — на уровне Fit..., qp испытаний — на уровне Fp. В этом Случае общую сумму квадратов отклонений находят по формуле *50бщ = [^i + Р» + • • • +^] — [(/?i + /?*+ • • • +RpYln], Qi где Р, = 2 ха —сумма квадратов наблюдавшихся значе- i= 1 ннй признака на уровне Ft\ Р2=*^,) х }%—сумма квадратов наблюдавшихся значе- i=i ний признака на уровне Ft\ Рр= xf p—сумма квадратов наблюдавшихся значений признака на уровне F p; д Ql „ 4t Р Rl = 2 xiu Rt = 2 tfp = Ztfip —суммы наблюдавшихся значений признака соответственно на уровнях Ft, ..., F p; n = q1-i-qt+ ■ ■ • +Яр —общее число испытаний (объем выборки). Если для упрощения вычислений из каждого наблюдавшегося значения Хц вычитали одно и то же число С и приняли i fij — xij —С, то ^общ — [Qi + Q* + • • • + QJ— [(T'i + Tt+... +Tp) /л], где Qj = ^2 yfi, Q, = 21» Qj> ~ 2 'Vip’ Tx = 2 Уii>; % 4p т s = 2 у it»• • • • т p — 2) у i p- Факторную сумму квадратов отклонений находят по.формуле ■Зфакт — [(^?*/<7i) + (^8/<7*)+ • ■ • +(Яр/<7/>)]~“ [Ях+£,+.••+Я,)*/ft]; если значения признака были уменьшены ( У;у = х{у —С), то 5фа „ = [ТО<71) + (7’5/?я)+... • • • +(ТУя,)\-1(Тх + Тл+... +Т,)*/«]. Остальные вычисления производят, как и в случае одинакового числа испытаний: С с с ‘-'ост — '-’общ ‘-'факт* ^факт — ^факт /(.Р ^)» ^ост ~ S0CT/(rt р). Пример. Произведено 10 испытаний, из них 4 на первом уровне фактора, 4—на втором и 2—на третьем. Результаты испытаний приведены в табл. 34. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Таблица 34
Решение. Для упрощения расчета вычтем С — 64 из каждого наблюдаемого значения: y-,j= Jc,y — 64. Составим расчетную табл. 35. Используя табл. 35, найдем общую и факторную суммы квадратов отклонений: S06m = S Т^Ш\ =3253— [(-27)2/10] = = 3253 — 72,9 = 3180,1; Зфакт = [(T\lqx) + (Tl/g2) + (Т’з/q9)] - [(2 Т,)2/п] = = (7744/4) +(441/4) + (1600/2)1 — 72,90 = 2846,25— 72,90 = 2773,35. Найдем остаточную сумму квадратов отклонений: Soct = So6u,—вфакх = 3180,10 — 2773,35 = 406,75. Найдем факторную и остаточную дисперсии: Скт^Факт КР— 1) = 2773,35/(3- 0 = 2773,35/2 = 1387; slcr = SOCT/(n— р) = 406,75/(10 — 3) = 406,75/7 = 58. Сравним факторную и остаточную дисперсии по критерию F (см. гл. XIX, § 8), для чего найдем наблюдаемое значение критерия: р наб* = *факт/ soct = 1387/58 = 23,9.
Учитывая, что число степеней свободы числителя Ai = 2, а знаменателя Ag = 7 и уровень значимости а = 0,01, по таблице приложения 7 находим критическую точку: /'кр(0,01; 2; 7) = 9,55. Так как /^айл > ^кр—нулевую гипотезу о равенстве групповых средних отвергаем. Другими словами, групповые средние различаются значимо. Задачи В задачах 1—3 требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми генеральными дисперсиями. 1.
Отв. /•'„абл = 6,13; FKp (0,05; 4; 15) =3,06. Нулевая гипотеза отвергается.
Отв. /гиаб* = 2,4; FKV (0,05; 3; 12) = 3,49. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. 3.
Отв. Рпабж — 9.92; F Kр (0,05; 2; 10) = 4,10. Нулевая гипотеза отвергается.
|
