Случайные числа
Ранее было указано, что метод Монте—Карло основан на применении случайных чисел; дадим определение этих чисел. Обозначим через R непрерывную случайную величину, распределенную равномерно в интервале (0, 1). Случайными числами называют возможные значения г непрерывной случайной величины R, распределенной равномерно в интервале (0, 1). В действительности пользуются не равномерно распределенной случайной величиной R, возможные значения которой, вообще говоря, имеют бесконечное число десятичных знаков, а квазиравномерной случайной величиной R*, возможные значения которой имеют к о- нечное число знаков. В результате замены R на R* разыгрываемая величина имеет не точно, а приближенно заданное распределение. В приложении 9 приведена таблица случайных чисел, заимствованная из книги: Большее JI. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М., «Наука», 1965, с. 428. Обозначим через R непрерывную случайную величину, распределенную равномерно в интервале (О, 1), а через г j (/ = 1,2,...)—ее возможные значения, т. е. случайные числа. Разобьем интервал 0 < R < 1 на оси Or точками с координатами plt рх + р,, Рх + Р. + Р, Р,+Р,+... •••+Рл-1 на п частичных интервалов Alt А,,...,ДЯ: Дл. Д1 = р1—0 = Рх, Дл. А, = (рх + р,)—Рх = Р„ Дл. А„= 1 — (pi + pt+ ... +р„-1) = ря. Видим, что длина частичного интервала с индексом i равна вероятности с тем же индексом: Дл. Д/«р/. (#) Теорема. Если каждому случайному числу г{ (0 < rf < 1), которое попало в интервал А/, ставить в соответствие возможное значение х(, то разыгрываемая величина будет иметь заданный закон распределения: X хг xt... хя Р Pi Р* ' Рш Доказательство. Так как при попадании слу* чайного числа rf в частичный интервал Д/ разыгрываемая величина принимает возможное значение х{, а таких интервалов всего п, то разыгрываемая величина имеет те же возможные значения, что и X, а именно xlt xt, ..., х„. Вероятность попадания случайной величины R в интервал А/ равна его длине (см. гл. XI, § 6, замечание), а в силу (») Дл. А, = р/. Таким образом, вероятность попадания R в интервал А* равна р,. Следовательно, вероятность того, что разыгрываемая величина примет возможное значение х(, также равна р, (поскольку мы условились в случае попадания случайного числа rt в интервал А/ считать, что разыгрываемая величина приняла возможное значение X/). Итак, разыгрываемая величина имеет заданный закон распределения. Правило. Для того чтобы разыграть дискретную слу* чайную величину, заданную законом распределения Xj xt... х„ Р Pi Pt ••• Рп надо: 1) разбить интервал (0, 1) оси Or на п частичных интервалов: Aj — (0; ру), Д2 — {р{, рг + р,),..Ап — (р1 + + р2 + • • • + Pn-i> 0;
|
