Разыгрывание полной группы событий
Разыгрывание полной группы п (п > 2) несовместных событий Аи А2,...,А„, вероятности которых plt р2, известны, можно свести к разыгрыванию дискретной случайной величины X со следующим законом распределения (для определенности примем хг= 1, дса = 2,.. хп = п): X 1 2... п Р Pi Р*--- Рп Действительно, достаточно считать, что если в испытании величина X приняла значение X; = t (i — 1, 2,..., я), то наступило событие А,-. Справедливость этого утверждения следует из того, что число п возможных значений X равно числу событий полной группы н вероятности возможных значений х,- н соответствующих им событий А{ одинаковы: Р(Х = х1) = Р(А{)=р(. Таким образом, появление в испытании события А равносильно событию, состоящему в том, что дискретная случайная величина X приняла возможное значение х,. Правило. Для того чтобы разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий Alt AtАп полной группы, вероятности которых рг, р, известны, достаточно разыграть (по правилу § 4) дискретную случайную величину X со следующим законом распределения: 2... п Р Pi Р» • • • Ря Если в испытании величина X приняла возможное значение *, = *, то наступило событие Л,. Пример 1. Заданы вероятности четырех событий, образующих полную группу: (Л1)=0,19, р,=Р (А|)=0,21, р,«=Р (Л,)=0,34, р4 = Л (у44)=0,26. Разыграть б испытаний, в каждом из которых появляется одно из четырех заданных событий. Решение. В соответствии с правилом, приведенным в настоящем параграфе, надо разыграть дискретную случайную величину'X, закон распределения которой X 1 2 3 4 р 0,19 0,21 0,34 0,26 По правилу § 4 разобьем интервал (0,1) иа четыре частичных интервала: Дх — (0; 0,19), Д,—(0,19; 0,40), А»—(0,40; 0,74), Д4— (0,74; 1). Выберем из таблицы приложения 9 пять случайных чисел, например: 0,66; 0,31; 0,85; 0,63; 0,73. Так как случайное число ^ = 0,66 принадлежит интервалу Д3, то Х=3, следовательно, наступило событие At. Аналогично найдем остальные события. Итак, искомая последовательность событий такова: А%, At, At, At, Аг. Пример 2. События А и В независимы н совместны. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6, а вероятность появления события В равна 0,2. Решение. Возможны 4 исхода испытания: At*=AB, причем в силу независимости событий Р (АВ) = *=Р (А)-Р (В) = 0,6-0,2 = 0,12; АЖ**АВ, причем Р (АВ)=0,6-0,8—0,48; At**AB, причем Р (А5)>= 0,4-0,2 = 0,08; А«=АВ, причем Р (АВ) — 0,4-0,8 = 0,32. Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной группы четырех событий: Ах с вероятностью р, = 0,12, Аш с вероятностью ра» 0,48, А, с вероятностью р, = 0,08 н с вероятностью р* = 0,32. В свою очередь, в соответствии с правилом настоящего параграфа эта задача сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины X, закон распределения которой АТ I 2 3 4 р 0,12 0,48 0,08 0,32 Используем правило § 4. Выберем 6 случайных чисел, например: 45; 0,65; 0,06; 0,59; 0,33^ 0,70. Построим частичные интервалы: Лх — (0; 0,12), Д2 — (0,12; 0,60); Д8 —(0,60; 0.68), Д4-(0,68; 1). Случайное число /1 = 0,45 принадлежит интервалу Л2, поэтому наступило событие А% — АВ. Аналогично найдем исходы остальных испытаний. Итак, искомая последовательность исходов разыгранных испытаний такова: АВ, АВ, АВ, АВ, АВ, AS. Пример 3. События А к В зависимы н совместны. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых заданы вероятности Р(/4)=0,8, Р(В) = 0,6, Р (/4В) = 0,5, Решение. Возможны 4 исхода испытания: Аг = АВ, причем, по условию, Р (АВ) = 0,Ь', Л2 — АВ, примем Р (АВ) = Р (А) —Р(.Д5)=>0,8— 0,5 = 0,3; Аг — АВ, причем Р (АВ) = Р (В) — Р(ЛВ)=0,6—0,5 = 0,1; А4 = АВ, причем Р(АВ)*=1 — [Р Ш +Р (AJ +Р (Аа)]= 1— (0,5 + 0,3 + 0,1) = 0,1. Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной группы четырех событий: Ах с вероятностью 0,5, Ая с вероятностью 0,3, Аа с вероятностью 0,1 и л4 с вероятностью 0,1 и А4 с вероятностью 0,1. Рекомендуем закончить решение самостоятельно, считая для определенности, что выбраны случайные числа:_0,65; 0,06; 0,59; 0,3?. Для контроля приводим ответ: АВ, АВ, АВ, АВ. Пояснение. Так как A—AB-j-AB, то Р (А)=Р (AB)-j-P (АВ). Отсюда Р (АВ) = Р(А) — Р(АВ).
|
