Разыгрывание непрерывной случайной величины. Метод обратных функций
Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину X, т. е. получить последовательность ее возможных значений xt(i= 1, 2,...), зная функцию распределения F (х). Теорема. Если гt—случайное число, то возможное значение Х[ разыгрываемой непрерывной случайной величины X с заданной функцией распределения F (х), соответ F{xt) = rt. Доказательство. Пусть выбрано случайное число г/(0^г/< 1). Так как в интервале всех возможных значений X функция распределения F (х) монотонно возрастает от 0 до 1, то в этом интервале существует, причем только одно, такое значение аргумента х,, при котором функция распределения примет значение г(. Другими словами, уравнение (*) имеет единственное решение x, = F-4ri). где F~l —функция, обратная функции y = F(x). Докажем теперь, что корень дс, уравнения (*) есть возможное значение такой непрерывной случайной величины (временно обозначим ее через |, а потом убедимся, что | = Х). С этой целью докажем, что вероятность попадания | в интервал, например (с, d ), принадлежащий интервалу всех возможных значений X, равна приращению функции распределения F (х) на этом интервале: P(c<t<d) = F(d) — F(c). Действительно, так как F (х) — монотонно возрастающая функция в интервале всех возможных значений X, то в этом интервале большим значениям аргумента соответствуют большие значения функции, и обратно. Поэтому, если с < х{ < d, то F (с) < r; < F (d), и обратно [учтено, что в силу (*) F(xl) = r,\. Из этих неравенств следует, что если случайная величина £ заключена в интервале с < | < d, (**) то случайная величина R заключена в интервале F (с) < R < F (d), (***) и обратно. Таким образом, неравенства (**) и (***) равносильны, а, значит, и равновероятны: Р (с < I < d) = P[F (с) < R < F (d)]. (****) Так как величина R распределена равномерно в интервале (0, 1), то вероятность попадания R в некоторый интервал, принадлежащий интервалу (0, 1), равна его длине (см. гл. XI, § 6, замечание). В частности, Р [F (с) < R < F (d)] — F(d) — F (с). Следовательно, соотношение (****) можно записать в виде Р (с < I < d) = F (d) — F (с). Итак, вероятность попадания | в интервал (с, d) равна приращению функции распределения F (х) на этом интервале, а это означает, что £ = Другими словами, числа х определяемые формулой (*), есть возможные значения величины X с заданной функцией распределения F (х), что и требовалось доказать. Правило 1. Для того чтобы найти возможное значение Х(непрерывной случайной величины X, зная ее функцию распределения F (х), надо выбрать случайное число гit приравнять его функции распределения и решить относительно х{ полученное уравнение F (xi) = rl.
|
