Оценка погрешности метода Монте—Карло
Пусть для получения оценки а* математического ожидания а случайной величины X было произведено п независимых испытаний (разыграно п возможных значений X) и по ним была найдена выборочная средняя х, которая принята в качестве искомой оценки: а* = х. Ясно, что если повторить опыт, то будут получены другие возможные значения X, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка а*. Уже отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Естественно, возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Ограничимся отысканием лишь верхней границы б допускаемой ошибки с заданной вероятностью (надежностью) у: Р(\Х— а|<6) = у. Интересующая нас верхняя граница ошибки б есть не что иное, как «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных интервалов, о которой уже шла речь в гл. XVI. Поэтому воспользуемся результатами, полученными ранее, и рассмотрим следующие три случая. Случайная величина X распределена нормально и ее среднее квадратическое отклонение о известно. В этом случае с надежностью у верхняя граница ошибки (см. гл. XVI, § 15) б = to / уц, (*) где п —число испытаний (разыгранных значений X)', t — значение аргумента функции Лапласа, при котором Ф(/) = у/2, о — известное среднее квадратическое отклонение X. Пример I. С надежностью v = 0,95 найти верхнюю границу ошибки б, если для оценки математического ожидания нормальной величины X с известным средним квадратическим отклонением, равным 5, было разыграно 100 возможных значений X. Решение. По условию, л=100, <т = 0,5, Ф(0 = 0,95/2 = 0,475. По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим /=1,96. Искомая верхняя граница ошибки б = 1,96-0,5/ У 100 = 0,098. Случайная величина X распределена нормально, причем ее среднее квадратическое отклонение а неизвестно. В этом случае с надежностью у верхняя граница ошибки (см. гл. XVI, § 16) б = tys!V~n, (**) где п — число испытаний; s — «исправленное» среднее квадратическое отклонение, t4 находят по таблице приложения 3. Пример 2. С надежностью у = 0,95 найти верхнюю границу ошибки б, если для оценки математического ожидания нормальной величины X было разыграно 100 ее возможных значений и по ним найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,5. Решение По условию, п. =100, s = 0,5 Испольчуя таблицу приложения 3, по у = 0,95, я=100 находим ty= 1,984. Искомая верхняя граница ошибки 6 = 1,984 0,5/^100 = 0,099. Случайная величина X распределена по закону, отличному от н о р м а л ь н о г о. В этом случае при достаточно большом числе испытаний (/г >30) с надежностью, приближенно равной у, верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (*), если среднее квадратическое отклонение а случайной величины X известно; если же а неизвестно, то можно подставить в формулу (*) его оценку s — «исправленное» среднее квадратическое отклонение либо воспользоваться формулой (**). Заметим, что чем больше п, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при п —► оо распределение Стьюдента стремится к нормальному (см. гл. XVI, § 16, замечание). В частности (примеры 1 и 2), при /г = 100, = 0,95 верхняя граница ошибки равна 0,098 по формуле (*) и 0,099 по формуле ([6]). Как видим, результаты различаются незначительно. Замечание. Для того чтобы найти наименьшее число испытаний, которые обеспечат наперед заданную верхнюю границу ошибки б, надо выразить п из формул (*) и (**)'■; п = <2а2/62, п = t yS2/62. Например, еслн 8 = 0,098, /=1,96, а —0,5, то минимальное число испытаний, при которых ошибка не превысит 0,098, равно п = 1,962 0,52/0,098а = 100.
|
