Энтропия Колмогорова–Синая

Пусть имеется динамическая система:

(17.1)

где х - N -мерный вектор состояний.

Выберем в фазовом пространстве две близкие фазовые точки х ₁ и х ₂, проведём из них траектории (х ₁(t) и х ₂(t)) и проследим, как при эволюции системы (17.1) будет изменяться расстояние d между соответствующими точками этих траекторий:

Если динамика системы (17.1) является хаотической, d (t) с течением времени будет экспоненциально возрастать:

Отсюда найдём среднюю скорость экспоненциального расхождения траекторий:

или, точнее,

Величина h называется энтропией Колмогорова–Синая или КС-энтропией. Используя КС-энтропию, можно определить, каким является исследуемый режим - хаотическим или регулярным. В частности, если динамика системы является периодической или квазипериодической, то с течением времени расстояние d (t) не возрастает и КС-энтропия равна нулю (h = 0). При наличии в системе устойчивой неподвижной точки d (t) ® 0 и h < 0. В случае хаотической динамики системы КС-энтропия больше нуля (h > 0).

КС-энтропия - это максимальный из характеристических показателей Ляпунова, позволяющих судить о скорости, с которой утрачивается информация о начальном состоянии. Спектр показателей Ляпунова даёт возможность качественно оценить свойства локальной устойчивости аттрактора.