Показательный (экспоненциальный) закон распределения.

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Непрерывная случайная величины Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и , если ее плотность вероятности имеет вид: (59)

Кривую нормального распределения называют нормальной, или гауссовой кривой. На рисунке приведены нормальная кривая и график функции распределения случайной величины Х, имеющей нормальный закон. Нормальная кривая симметрична относительно прямой х = а, имеет максимум в точке х = а, равный , т.е.

, и две точки перегиба с ординатой . В выражении плотности нормального распределения параметры обозначены буквами а и , которыми мы обозначаем математическое ожидание и дисперсию.

Теорема. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, равно параметру а этого закона, т.е. М(Х) = а, а ее дисперсия – параметру , т.е. D(Х) = (60)

Выясним, как будет меняться нормальная кривая при изменении параметров а и . Если , и меняется параметр а, т.е. центр симметрии распределения, то нормальная кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя формы (см. рис.). Если а = const и меняется параметр (или ), то меняется ордината точки максимума кривой. При увеличении ордината максимума кривой уменьшается, но так как площадь под любой кривой распределения должна оставаться равной 1, то кривая становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшении , наоборот, нормальная кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков. Таким образом, параметр а, он же математическое ожидание, характеризует положение центра, а параметр , он же дисперсия, - форму нормальной кривой.

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами а = 0, = 1, т.е. N(0;1), называется стандартным, или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

Теорема. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле:

(61)

Геометрически функция распределения представляет собой площадь под нормальной кривой на интервале (см. рис.). Как видим, она состоит из двух частей: первой, на интервале , равной , т.е. половине всей площади под нормальной кривой, и второй, на интервале (а, х), равной .

Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону:

1⁰. Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, в интервал [х₁, х₂], равна , где (62)

2⁰. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину (по абсолютной величине), равна , где (63)

Вычислим по формуле (63) вероятности при различных значениях , используя значения функции Лапласа:

При

При

При

«Правило трех сигм»:

Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , т.е. N(a; ), то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале . Нарушение «правила трех сигм», т.е. отклонение нормально распределенной случайной величины Х больше, чем на 3 (по абсолютной величине), является событием практически невозможным, так как его вероятность весьма мала: 1 – 0,9973 = 0,0027.

Коэффициент асимметрии нормального распределения А = 0.

Эксцесс нормального распределения равен нулю.

8. Логарифмически – нормальное распределение.

Непрерывная случайная величина Х имеет логарифмически – нормальное (логнормальное) распределение, если ее логарифм подчинен нормальному закону.

Так как при x> 0 неравенства X<x и lnX < ln x равносильны, то функция распределения логнормального распределения совпадает с функцией нормального распределения для случайной величины lnX, т.е.

. (64)

Дифференцируя (64) по х, получим выражение плотности вероятности для логнормального распределения (65) Математическое ожидание случайной величины, распределенной по логнормальному закону, имеет вид: , дисперсия: , мода , медиана Ме (Х) = а. Очевидно, что чем меньше , тем ближе друг к другу значения моды. Медианы и математического ожидания. А кривая распределения – ближе к симметрии. Если в нормальном законе параметр а выступает в качестве среднего значения случайной величины, то в логнормальном – в качестве медианы.

Логнормальное распределение широко используется для описания распределения доходов, банковских вкладов, цен активов, месячной заработной платы, посевных площадей под разные культуры, долговечности изделий в режиме износа и старения и др.

9. Распределение Хи – квадрат.