Функция распределения двумерной случайной величины.

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y). Пусть х, у – пара действительных чисел. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее х, и при этом Y примет значение, меньшее у, обозначим через F (х, у). Если х и у будут изменяться, то будет изменяться и F (х, у), т.е. F (х, у) есть функция от х и у. Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) называют функцию F (х, у), определяющую для каждой пары чисел х, у вероятность того, что X примет значение, меньшее х, и при этом Y примет значение, меньшее у: F (х, у) = Р(X< х, Y< y). (69)

Свойства функции распределения.

1⁰. Значения функции распределения удовлетворяют неравенству .

2⁰. F (х, у) есть неубывающая функция по каждому аргументу, т.е. .

3⁰. Имеют место предельные соотношения:

4⁰. При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Х: , при функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Y: .

5⁰. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов:

В полуполосу x ₁< X < x ₂ и Y < y: .

В полуполосу X < x и у ₁< Y < y ₂: .

6⁰. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям: X = x ₁, X = x ₂, Y = y ₁, Y = y ₂: .