Линейные функции от случайных величин

1. Если нормальная случайная величина с параметрами и , а постоянная, то:

а) сл. в. распределена по нормальному закону с параметрами и

б) распределена по нормальному закону с параметрами и .

2. Если нормальная сл.в. с параметрами и , нормальная сл.в. с параметрами и , то сл.в. распределена по нормальному закону с и

3. Дана система независимых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями . Рассмотрим сл.в.

. (3.22)

В частности, если все значения – результат измерений одной и той же величины X, то среднее значение n измерений

будет случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием, совпадающим с математическим ожиданием для одного измерения и среднеквадратичным отклонением

На практике для получения закона распределения, который приближенно может быть принят за нормальный, обычно оказывается достаточным наличие 5-10 слагаемых в выражении (3.22). Следует заметить, что это не относится к случаю, когда дисперсия одного из слагаемых в этой формуле подавляюще велика по сравнению со всеми другими; предполагается, что случайные слагаемые в сумме (3.22) по своему рассеиванию имеют примерно один и тот же порядок. Если эти условия соблюдены, то для величины может быть приближенно принят нормальный закон с параметрами, определяемыми формулами

Распределение вероятностей произведения двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по нормальному закону, в отличие от суммы, уже не будет распределено по нормальному закону. В общем случае распределение оказывается достаточно громоздким.

Пример 3.16. Производится измерение без систематических ошибок диаметра вала. Случайная ошибка измерения X подчиняется нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 20мм. Найти: а) вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, по абсолютной величине не превосходящей 35 мм; б) интервал, в который попадет сл.в. X с вероятностью 0,6827.

Решение. Ошибка измерения это случайная величина, Так как по условию систематическая ошибка отсутствует, то

а) По формуле 3.20

б)

Пример 3.17. Сл. в. распределена нормально с математическим ожиданием . Вероятность попадания в интервал (10;20) равна 0,3. Найти вероятность попадания в интервал (0;10).

Решение. Так как нормальная кривая

симметрична относительно кривой то площади, ограниченные сверху нормальной кривой и снизу – интервалами (0;10) и (10;20), равны между собой.

Поскольку эти площади численно равны вероятностям попадания в соответствующий интервал, то

Пример 3.18. Полагая, что рост мужчин определённой возрастной группы есть нормально распределённая случайная величина с параметрами , найти:

1. а) выражение плотности вероятности и функции распределения случайной величины ;
б) долю костюмов 4-го роста (176 – 182 см), которую нужно предусмотреть в общем объёме производства для данной возрастной группы.

2. квантиль x_0,7 и объяснить смысл полученного значения.

3. Сформулировать правило «трёх сигм» для случайной величины .

Решение.1. а) По формулам (3.17) и (3.19) запишем плотность распределения и функцию распределения:

, .

б) Доля костюмов 4-го сорта в общем объёме производства определяется по формуле (3.16) как вероятность попадания сл.в. X в заданный интервал:

Здесь .

Таким образом, для данной возрастной группы в общем объёме производства нужно предусмотреть примерно 24% костюмов.

2. .

По таблице III приложений найдём и

.

Это означает, что 70% мужчин данной возрастной группы имеют рост до 176 см.

3. Практически достоверно, что рост мужчин данной возрастной группы заключён в границах от до , т.е. .

Пример 3.19. Значения случайной величины X с вероятностью 0,9973 попадают в интервал . Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Таким свойством обладает нормально распределённая случайная величина, поэтому , ,

В силу особенностей нормального закона распределения, отмеченных в начале параграфа, он занимает центральное место в теории и практике вероятностно-статистических методов.

3.17. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равной 50 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 32 мм и не более 68 мм. Деталь считается годной, если отклонение её длины от проектной не превышает s. Сколько процентов годных деталей штампует автомат?

3.18. Случайная величина X распределена нормально с параметрами Найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены значения сл.в. X.

3.19. Значения случайной величины X с вероятностью 0,9545 попадают в интервал (2;10). Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.