Модели следования за лидером

Первоначально предполагалось, что каждый водитель согласует свою скорость со скоростью впереди идущего автомобиля:

(2.36)

где τ – время согласования скоростей (рис. 2.3), точки над координатой обозначают дифференцирование по времени.

xi+ 1 xi x

Рис. 2.3. Порядок следования автомобилей

Данная модель не описывает свойств неустойчивости, возникновения ударных волн и заторов. В левую часть уравнения (2.36) можно добавить задержку t_d, описывающую время реакции водителя на изменение скорости лидирующего автомобиля. Множитель 1/τ в этом уравнении интерпретируется как коэффициент чувствительности α, характеризующий скорость реакции водителя. Тогда (2.36) можно записать в виде дифференциально-разностного уравнения

(2.37)

При α=const условие неустойчивости уравнения (2.37) имеет вид t_d /τ > 1/2. Наличие неустойчивости позволяет моделировать ударные волны и заторы, но предположение о неизменности чувствительности не позволяет воспроизвести фундаментальную диаграмму. Более адекватная модель получается при учете возрастания чувствительности с уменьшением дистанции до лидирующего автомобиля. С этой точки зрения уравнение (2.37) может быть преобразовано к виду

(2.38)

Оценка коэффициентов n ₁ и n ₂ проводится по экспериментальным данным. В простейшем случае, используемом для теоретического анализа, n ₁=0, n ₂=1

(2.39)

После интегрирования уравнения (2.39) получаем

(2.40)

где k_max – константа, описывающая движение автомобилей в плотном потоке на очень близком расстоянии "бампер-к-бамперу".

Когда транспортный поток является стационарным, плотность k выражается формулой k =1/(x_i (t) – x_{i +1}(t)), а так как скорость в стационарном режиме постоянна, то

(2.41)

Теория следования за лидером слишком детальна для ее использования при анализе движения в больших городских транспортных системах, но она является достаточным инструментом микроскопического моделирования транспортного потока, а также часто используется для анализа характеристик потока на различных пересечениях, перекрестках и т.д.