Закон сохранения транспортного потока

При равновесном движении с плотностью автомобилей k (x, t) в направлении x число автомобилей в интервале длины дороги (x ₁, x ₂) в момент времени t равно

(2.13)

Пусть v (x, t) – скорость автомобилей в точке x в момент времени t. Число проходящих через x (единицу длины) автомобилей в момент t равно k (x, t) v (x, t). Найдем уравнение изменения плотности. Число автомобилей в интервале (x ₁, x ₂) за время t изменяется в соответствии с числом въезжающих и выезжающих машин:

(2.14)

Интегрируя по времени и полагая, что k и v – непрерывные функции, получим

(2.15)

Поскольку x ₁, x ₂ и t ₁, t ₂ > 0 произвольны,

(2.16)

Это уравнение дополняется начальным условием

(2.17)

Найдем уравнение для скорости v. Положим, что v зависит только от плотности k. Если дорога пуста (k =0), автомобили едут с максимальной скоростью v = v _max. При наполнении дороги скорость падает вплоть до полной остановки (v =0), когда машины расположены "бампер-к-бамперу" (k = k _max). Эта простейшая модель выражается следующим линейным соотношением

(2.18)

Тогда уравнение (2.16) принимает вид

(2.19)

и является законом сохранения количества автомобилей. Действительно, интегрируя (2.19) по x, получим

(2.20)

и, следовательно, количество автомобилей на отрезке дороги (x ₁, x ₂) постоянно для любых значений t ≥ 0.

Уравнение (2.18), впервые полученное Гриншилдсом, носит его имя. Линейная аппроксимация Гриншилдса представлена на рис. 2.1.

v

k

v 0

k/k max

Рис. 2.1. Линейная аппроксимация Гриншилдса

Можно построить макроскопическую модель, в которой урав­нение Гриншилдса является частным случаем. Рассмотрим связь между скоростью v и плотностью k автомобилей на до­роге. В общем случае, когда плотность k повышается, водители снижают скорость и наоборот, поэтому

(2.21)

где x (t) – координата движения элемента потока.

Проследим изменение скорости для некоторого передвигаю­щегося элемента потока во времени, которое определяется как полная производная по времени

(2.22)

Из уравнения (2.16) следует соотношение

(2.23)

которое после подстановки в (2.23) принимает вид

(2.24)

Поскольку в соответствии с уравнениям (2.21)

(2.25)

из соотношения (2.24) получаем

(2.26)

где , а отрицательный коэффициент пропорциональности можно интерпретировать как вязкость в жидкости. Для классической сжимаемой жидкости уравнение (2.26) называется уравнением Эйлера, в этом случае:

(2.27)

где С – неотрицательная константа с размерностью скорости.

Принято рассматривать более общий класс моделей, в которых

(2.28)

Уравнение (2.27) соответствует случаю n ≠–1, следовательно, из уравнений (2.26) и (2.27) . Решением этого уравнения будет

(2.29)

при n =–1 и

(2.30)

при n ≠–1.

Формула (2.29) впервые получена Гринбергом и носит его имя. Обозначив v ₀ – скорость при k =0, для значений n ≤0 можно записать

(2.31)

Следует отметить, что полученное ранее уравнение Гриншилдса (2.18) является частным случаем уравнения Гринберга (2.31) при n =1.