Гипербола и ее свойства

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

 

 

По определению | r ₁ – r ₂ | = 2 a. F ₁, F ₂ – фокусы гиперболы. F ₁ F ₂ = 2 c.

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:

обозначим с² – а² = b² (геометрически эта величина – меньшая полуось)

Получили каноническое уравнение гиперболы.Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью.

Ось 2 b называется мнимой осью.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с² – а ² = b²

:

Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения:

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r / d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.

 

Из очевидных геометрических соотношений можно записать:

a / e + d = x, следовательно d = x – a / e.

(x – c) ² + y² = r ²

Из канонического уравнения: , с учетом b² = c² – a²:

Тогда т.к. с/ a = e, то r = ex – a.

Итого:

Для левой ветви доказательство аналогично. Теорема доказана

Пример 1. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса

Для эллипса: c ² = a² – b².
Для гиперболы: c² = a² + b².

Уравнение гиперболы:

Пример 2. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Находим фокусное расстояние c ² = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c² = a² + b² = 16, e = c / a = 2; c = 2 a; c ² = 4 a²; a² = 4;

b² = 16 – 4 = 12.

Итого: - искомое уравнение.