Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

2)Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что. Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что.

Достаточность

Пусть. Возьмем в матрице A какой-нибудь базисный минор. Так как, то он же и будет базисным минором и матрицы B. Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A.

Совместная СЛУ явл-ся определенной тогда и только тогда, когда числу урав-ий эквивалентно ступенчатые системы =числу неизвестных.
ДОК-ВО: Пусть условия совместимости системы 1 выполнена, если числу уравнений системы 1=числу неизвест-х, т. е. Выполнено равенство r = n, то ступенчатая система имеет вид

a11x1 + a12x2 + …+ an xn = b1;

a22x2 + a2nxn = b2; (1)

annx= bn;

 

В системе все неизв-е явл-ся главными и определ-ся одноз-но, значит система (выше) явл. опред-ми, если же условия r=n не выполнено, то это обозначает что ступ-ая система содерж. Свободные неизв-ые, след-но явл-ся неопред-ой

следствие: совместно система 1 при n>m, то после приведения сист.к ступенч-му виду 2 число урав-ий r не станет >, т. е. r>=m, след-но r<m, тогда по т.№4 система 1 не определена чтд