Определение. Число векторов в базисе векторного пространства называется его размерностью.

Обозначение: – размерность векторного пространства V.

Таким образом, в соответствие с этим и предыдущими определениями, имеем:

 

1) – векторное пространство векторов прямой L.

 

– базис ,, , , – разложение вектора по базису , – координата вектора относительно базиса .

 

2) – векторное пространство векторов плоскости Р.

 

– базис , , , – разложение вектора по базису , – координаты вектора относительно базиса .

 

 

3) – векторное пространство векторов в пространстве точек S.

 

– базис , , – разложение вектора по базису , – координаты вектора относительно базиса .

Замечание. Если , то и можно выбрать базис пространства так, что – базис и – базис . Тогда , и , .

Таким образом, любой вектор прямой L, плоскости Р и пространства S можно разложить по базису :

.Обозначение. В силу теоремы о равенстве векторов, мы можем отождествить любой вектор с упорядоченной тройкой действительных чисел и писать:

. Это возможно лишь том случае, когда базис фиксирован и нет опасности спутаться.

Определение. Запись вектора в виде упорядоченной тройки действительных чисел называют координатной формой записи вектора: .

Определение. Пусть V и W – произвольные векторные пространства над полем К. Гомоморфизм называют изоморфизмом векторного пространства в векторное пространство , если отображение f является биекцией (т.е. взаимно однозначным соответствием).Определение. Если существует изоморфизм , то векторное пространство Vназывают изоморфным векторному пространствуW.Обозначение: .

24. Непустое множество является подпространством пространства V тогда и только тогда, когда W замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на скаляры. Иными словами, выполняются следующие два условия:

1.

2.

Пусть UиW — подпространства векторного пространства V над полемF.

Предложение 1. Пересечение подпространствU и W является векторным пространством.

Замечание 1. Объединение пространств Uи W не обязано быть векторным пространством.

Определение 1. Суммой1) подпространств W иU называется наименьшее подпространство в V, содержащее UиW, то есть

. Вообще говоря, можно определить сумму любого конечного числа подпространств:

Определение 1'. Сумма подпространств вV — это наименьшее подпространство, содержащее все , то есть

. Предложение 2. Пусть U иW — подпространства конечномерного векторного пространства V. Тогда

Прямой суммой векторных пространств U иW называется декартово произведение с операциями сложения векторов и умножения их на скаляр, определенными следующей формулой:

.

25. Линейной оболочкой заданной конечной совокупности элементов векторного пространства n над полем К называется множество всех линейных комбинаций этих элементов с коэффициентами из поля К. При этом сама совокупность называется порождающей системой данной линейной оболочки, а сама линейная оболочка обозначается символом

. Линейные оболочки обладают следующими свойствами:

1. Линейная оболочка элементов векторного пространства Rn является подпространством М векторного пространства Rn.Данный результат следует из определения линейной оболочки: сумма двух векторов из линейной оболочки будет принадлежать линейной оболочки (одна из линейных комбинаций), произведение вектора из линейной оболочки также будет принадлежать линейной оболочки.

2. Линейная оболочка может совпадать со всем пространством Rn (если образующая система является базисом в пространстве Rn)

3. Линейная оболочка является наименьшим подпространством, содержащим элементы. Все остальные подпространства могут только содержать вектора порождающей системы или их возможные комбинации.

4. Если какой-нибудь элемент из порождающей системы элементов есть линейная комбинация остальных элементов этой системы, то его можно удалить из порождающей системы, не изменив при этом линейной оболочки.

5. Если координатная матрица системы образующих имеет ранг р, где , то любая линейно независимая система , является базисом линейной оболочки , а сама линейная оболочка будет подпространством размерности р,.