Системы двух и трех линейных уравнений. Правило Крамера.

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Основные методы решения: подстановка, сложение или вычитание.

Определители второго порядка. Правило Крамера.

Исследование решений системы уравнений.

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:

где a, b, c, d, e, f – заданные числа; x, y – неизвестные. Числа a, b, d, e – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными методами.

Метод подстановки.

1) Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например x, через коэффициенты и другое неизвестное y:

x = (c – by) / a. (2)

2) Подставляем во второе уравнение вместо x:

d (c – by) / a + ey = f.

3) Решая последнее уравнение, находим y:

y = (af – cd) / (ae – bd).

4) Подставляем это значение вместо y в выражение (2):

x = (ce – bf) / (ae – bd).

П р и м е р. Решить систему уравнений:

Из первого уравнения выразим х через коэффициенты и y:

x = (2y + 4) / 3.

Подставляем это выражение во второе уравнение и находим y:

(2y + 4) / 3 + 3y = 5, откуда y = 1.

Теперь находим х, подставляя найденное значение вместо y в выражение для

х: x = (2 · 1 + 4) / 3, откуда x = 2.

Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем.

1) Умножаем обе части 1-го уравнения системы (1) на (– d), а обе части 2-го уравнения на а и складываем их:

Отсюда получаем: y = (af – cd) / (ae – bd).

2) Подставляем найденное для y значение в любое уравнение системы (1):

ax + b(af – cd) / (ae – bd) = c.

3) Находим другое неизвестное: x = (ce – bf) / (ae – bd).

П р и м е р. Решить систему уравнений:

методом сложения или вычитания.

Умножаем первое уравнение на –1, второе – на 3 и складываем их:

отсюда y = 1. Подставляем это значение во второе уравнение

(а в первое можно?): 3x + 9 = 15, отсюда x = 2.

Определители второго порядка. Мы видели, что формулы для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:

x = (ce – bf) / (ae – bd), (3)

y = (af – cd) / (ae – bd).

Эти формулы легко запоминаются, если ввести для их числителей и знаменателей следующий символ:

, который будет обозначать выражение: ps – qr.

Это выражение получается перекрёстным умножением чисел p, q, r, s:

и последующим вычитанием одного произведения из другого: ps – qr. Знак «+» берётся для произведения чисел, лежащих на диагонали, идущей из левого верхнего числа к правому нижнему; знак «–» - для другой диагонали, идущей из правого верхнего числа к левому нижнему. Например,

Выражение называется определителем второго порядка.

Правило Крамера. Используя определители, можно переписать формулы (3):

Формулы (4) называются правилом Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

П р и м е р. Решить систему уравнений

используя правило Крамера.

Р е ш е н и е. Здесь a = 1, b = 1, c = 12, d = 2, e = –3, f = 14.

Исследование решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, показывает, что в зависимости от коэффициентов уравнений возможны три различных случая:

1) коэффициенты при неизвестных не пропорциональны: a: d ≠ b: e,

в этом случае система линейных уравнений имеет единственное решение, получаемое по формулам (4);

2) все коэффициенты уравнений пропорциональны: a: d = b: e = c: f,

в этом случае система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, так как здесь мы имеем фактически одно уравнение вместо двух.

П р и м е р. В системе уравнений

и эта система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Разделив первое уравнение на 2, а второе – на 3, мы получим два

одинаковых уравнения:

т.е. фактически одно уравнение с двумя неизвестными, у которого

бесконечное множество решений.

3) коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам: a: d = b: e ≠ c: f,

в этом случае система линейных уравнений не имеет решений, так как мы имеем противоречивые уравнения.

П р и м е р. В системе уравнений

но отношение свободных членов 7 / 12 не равно 1 / 3.

Почему эта система не имеет решений? Ответ очень простой.

Разделив второе уравнение на 3, мы получим:

Уравнения этой системы противоречивы, потому что одно и то же выражение 2x – 3y не может быть одновременно равно и 7, и 4.

Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными имеют вид:

где a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, r, s – заданные числа; x, y, z – неизвестные. Числа a, b, c, e, f, g, p, q, r – коэффициенты при неизвестных; d, h, s – свободные члены. Решение этой системы может быть найдено теми же двумя основными методами, рассмотренными выше: подстановки и сложения или вычитания. Мы же рассмотрим здесь подробно только метод Крамера.

Во-первых, введём понятие определителя третьего порядка. Выражение

называется определителем третьего порядка.

Запоминать это выражение не нужно, так как его легко получить, если переписать таблицу (2), добавив справа первые два столбца. Тогда оно вычисляется путём перемножения чисел, расположенных на диагоналях, идущих от a, b, c – направо (со знаком «+») и от c, a, b – налево (со знаком «–»), и затем суммированием этих произведений:

Используя определитель третьего порядка (2), можно получить решение системы уравнений (1) в виде:

Эти формулы и есть правило Крамера для решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

П р и м е р. Решить методом Крамера систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

Р е ш е н и е. Введём следующие обозначения: D - знаменатель в формулах (4),

Dx, Dy, Dz – числители в выражениях для x, y, z – соответственно.

Тогда используя схему (3), получим:

отсюда по формулам Крамера (4): x = Dx / D = 0 / 32 = 0;

y = Dy / D = 32 / 32 = 1; z = Dz / D = 64 / 32 = 2.

Правило Крамера. Пусть матричное уравнение

AX = B (1)

описывает систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Если , то система (1) является совместной и имеет единственное решение, описываемое формулой

(2)

где ; – определитель, полученный из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов матрицы B:

(3)

Доказательство теоремы разобъем на три части:

Решение системы (1) существует и является единственным.

Равенства (2) являются следствием матричного уравнения (1).

Равенства (2) влекут за собой матричное уравнение (1).

Так как , то существует и при том единственная, обратная матрица .