Общее решение систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные.

 

Определение 5.1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система S вида

,

где коэффициенты при неизвестных, свободные члены ( , заданные числа).

Определение 5.2. Решением системы называется упорядоченный набор действительных чисел , при подстановке которых в каждое уравнение системы вместо соответственно будут получены верные числовые равенства.

Определение 5.3. Система называется совместной (несовместной), если она имеет хотя бы одно решение (не имеет решений).

Определение 5.4. Совместная система линейных алгебраических уравнений называется определённой (неопределённой), если она имеет единственное решение (множество решений).

Определение 5.5. Матрица , составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы :

Матрица

называется расширенной матрицей этой системы.

Замечание. Система может быть переписана в так называемом матричном виде:

где вектор-столбец свободных членов системы.

Определение 5.6. Если все свободные члены системы уравнений равны нулю, то такая система называется однородной, если же хотя бы один свободный член отличен от нуля, система называется неоднородной.

Теорема 5.1. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы системы равен нулю.

Определение 5.7. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называют следующие операции:

1) сложение обеих частей одного уравнения с соответствующими частями другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю;

2) перестановка уравнений местами;

3) удаление из системы уравнений, являющихся тождествами.

Рассмотрим основные методы решения систем линейных уравнений.