Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса

Как уже отмечалось, в пространстве Rⁿ существует множество различных базисов.

Пусть и — двабазиса в Rⁿ.

Обозначим и координаты векторов и из Rⁿ и матрицу оператора A соответственно в базисах и , а — матрица перехода от базиса к базису , т.е.

,

,

Тогда

откуда имеем

— формулы преобразования матрицы линейного оператора при изменении базиса.

 

Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f, A = { a _{i j} } = { A (e _j) _i }:

Координаты образа y = A (x) и прообраза x связаны соотношеннием:

y = A · x,

 

Вопрос 32 Приведение матрицы линейного оператора к диагональной форме

Таким образом можно описать алгоритм приведения матрицы линейного оператора к диагональной форме.

Он состоит в следующем:

· записываем матрицу оператора A в исходном базисе;

· записываем характеристическое уравнение и вычисляем его корни;

· находим собственный базис оператора (если он существует);

· записываем матрицу C, столбцами которой являются координаты собственных векторов (векторов собственного базиса);

· по формуле C^-1AC находим диагональную форму матриц оператора — матрицу оператора в собственном базисе.

 

Нормальную (в частности симметричную) матрицу A можно привести к диагональному виду преобразованием подобия —

A = TΛT ⁻¹

Здесь Λ; = diag(λ₁,..., λ _N) — это диагональная матрица, элементами которой являются собственные значения матрицы A, а T — это матрица, составленная из соответствующих собственных векторов матрицы A, т.е. T = (v ₁,..., v _N).

Например,