Вопрос 36 Матрица билинейной формы.
Пусть X — линейное пространство. Функция b(x,y), осуществляющая отображение X × X → R, называется билинейной формой, если она линейна по каждому аргументу, т.е. " x, y, z О X и " α, β О R
Билинейная форма называется симметричной, если " x, y О X b(x, y) = b(y, x). Пусть e1, e2, …, en — базис в Xn. Тогда " x,y О Xn
Обозначим bij = b(ei, ej). Воспользовавшись линейностью b(x, y) по обоим аргументам, получим:
Квадратная матрица n –го порядка B = (bij) называется матрицей билинейной формы. Обозначив X и Y координатные столбцы векторов x и y, билинейную форму можно записать в виде:
Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Пусть в Xn базисы e1, e2, …, en и f1, f2, …, fn связаны матрицей перехода C = (cik) по формуле
Обозначим Be и Bf матрицы билинейной формы b(x,y) в базисах e1, e2, …, en и f1, f2, …, fn соответственно. Тогда
Справедливы следующие утверждения. Матрица симметричной билинейной формы симметрична в любом базисе. Если матрица билинейной формы симметрична в некотором базисе, то билинейная форма симметрична.
|
